Set tehnologic și proprietățile sale. Conceptul de sistem de producție și proces de producție. Procesul tehnologic și setul tehnologic. Proprietățile seturilor de producție

Ministerul Educației și Științei din Federația Rusă

Yaroslav the Wise Novgorod University University

Rezumatul disciplinei:

Management

Interpretat de un elev din grupul 6061 zo

Makarova S.V.

Primit de Suchkov A.V.

Velikiy Novgorod

1. PROCESUL DE PRODUCȚIE ȘI ELEMENTELE LUI.

Baza producției și a activității economice a întreprinderii este procesul de producție, care este un ansamblu de procese de muncă interdependente și procese naturale care vizează fabricarea anumitor tipuri de produse.
Organizarea procesului de producție constă în unirea oamenilor, a instrumentelor și a obiectelor de muncă într-un singur proces pentru producerea bunurilor materiale, precum și în asigurarea unei combinații raționale în spațiu și timp a proceselor principale, auxiliare și de servicii.

Procesele de producție la întreprinderi sunt detaliate în funcție de conținut (proces, etapă, funcționare, element) și locul de implementare (întreprindere, redistribuire, atelier, departament, amplasament, unitate).
Multitudinea proceselor de producție care au loc în întreprindere este un proces de producție cumulativ. Se numește procesul de producție al fiecărui produs individual al întreprinderii procesul de producție privat... La rândul său, într-un proces de producție privat, procesele de producție parțiale pot fi distinse ca elemente complete și separate tehnologic ale unui proces de producție privat, care nu sunt elementele primare ale procesului de producție (de regulă, acesta este realizat de lucrători din diferite specialități folosind echipamente în diverse scopuri).
Ar trebui luat în considerare elementul principal al procesului de producție operarea tehnologică- o parte omogenă din punct de vedere tehnologic a procesului de producție desfășurat la un singur loc de muncă. Procesele parțiale izolate tehnologic sunt etape ale procesului de producție.
Procesele de producție parțiale pot fi clasificate în funcție de mai multe criterii:

După scopul intenționat;

Natura fluxului în timp;

Modul de influențare a subiectului muncii;

Natura muncii angajate.
Procesele se disting în funcție de scopul propus principal, auxiliar și de serviciu.
Principalul procese de producție - procesele de conversie a materiilor prime și a materialelor în produse finite, care sunt principalul profil
produse pentru această întreprindere. Aceste procese sunt determinate de tehnologia de fabricație a acestui tip de produs (prepararea materiilor prime, sinteza chimică, amestecarea materiilor prime, ambalarea și ambalarea produselor).
Filială procesele de fabricație vizează fabricarea produselor sau furnizarea de servicii pentru a asigura cursul normal al principalelor procese de producție. Astfel de procese de producție au propriile lor obiecte de muncă, diferite de obiectele de muncă ale principalelor procese de producție. De regulă, acestea se desfășoară în paralel cu principalele procese de producție (reparații, containere, instalații pentru scule).
Servire procesele de producție asigură crearea condițiilor normale pentru fluxul proceselor de producție principale și auxiliare. Nu au un subiect propriu de muncă și continuă, de regulă, secvențial cu procesele principale și auxiliare, intercalate cu acestea (transportul materiilor prime și produselor finite, depozitarea acestora, controlul calității).
Principalele procese de producție în principalele magazine (secțiuni) ale întreprinderii și formează producția sa principală. Procesele de producție auxiliare și de servicii, respectiv, în magazinele auxiliare și de service - formează o fermă auxiliară.
Rolul diferit al proceselor de producție în procesul de producție agregat determină diferențele în mecanismele de gestionare a diferitelor tipuri de unități de producție. În același timp, clasificarea proceselor de producție parțiale în funcție de scopul intenționat al acestora poate fi efectuată numai în raport cu un proces privat specific.
Combinarea proceselor principale, auxiliare, de servicii și a altor procese într-o anumită secvență formează structura procesului de producție.
Principalul proces de producție reprezintă procesul și producția principalelor produse, care include procese naturale, procese tehnologice și de lucru, precum și așternuturi interoperative.
Un proces natural este un proces care duce la o schimbare a proprietăților și compoziției obiectului muncii, dar are loc fără participarea umană (de exemplu, la fabricarea anumitor tipuri de produse chimice).

Procesele naturale de producție pot fi considerate pauze tehnologice necesare între operațiuni (răcire, uscare, îmbătrânire etc.)
Tehnologic un proces este un ansamblu de procese în urma cărora apar toate modificările necesare în subiectul muncii, adică se transformă într-un produs finit.
Operațiile auxiliare facilitează efectuarea operațiunilor de bază (transport, control, sortare a produselor etc.).
Proces de lucru - totalitatea tuturor proceselor de lucru (operațiuni principale și auxiliare).
Structura procesului de producție se schimbă sub influența tehnologiei echipamentelor utilizate, a diviziunii muncii, a organizării producției etc.
Pat interoperativ - pauze furnizate de procesul tehnologic.
Prin natura fluxului în timp, există continuuși periodic Procese de producție. În procesele continue, nu există întreruperi în procesul de producție. Operațiunile de întreținere a producției se efectuează simultan sau în paralel cu operațiunile principale. În procesele periodice, execuția operațiunilor principale și de service are loc secvențial, din cauza căreia procesul principal de producție este întrerupt în timp.
Conform metodei de influență asupra subiectului muncii, ei disting mecanic, fizic, chimic, biologicși alte tipuri de procese de producție.
Prin natura muncii utilizate, procesele de producție sunt clasificate în automat, mecanizat și manual.

Principiile organizării procesului de producție sunt punctele de plecare, pe baza cărora se realizează construcția, funcționarea și dezvoltarea procesului de producție.

Există următoarele principii pentru organizarea procesului de producție:
diferențierea - împărțirea procesului de producție în părți separate (procese, operațiuni, etape) și repartizarea acestora la diviziunile corespunzătoare ale întreprinderii;
combinare - combinarea totală sau parțială a diverselor procese pentru fabricarea anumitor tipuri de produse într-un singur sit, atelier sau producție;
concentrare - concentrația anumitor operațiuni de producție pentru fabricarea produselor omogene tehnologic sau efectuarea unei lucrări omogene funcțional la locuri de muncă, zone separate, în ateliere sau instalații de producție ale unei întreprinderi;
specializare - atribuirea unei game strict limitate de lucrări, operații, piese și produse pentru fiecare loc de muncă și fiecare divizie;
universalizare - fabricarea de piese și produse dintr-o gamă largă sau efectuarea unor operațiuni de producție diferite la fiecare loc de muncă sau unitate de producție;
proporționalitate - o combinație de elemente individuale ale procesului de producție, care se exprimă în relația lor cantitativă certă;
paralelism - prelucrarea simultană a diferitelor părți ale aceluiași lot pentru o operație dată la mai multe locuri de muncă etc .;
flux direct - implementarea tuturor etapelor și operațiunilor procesului de producție în condițiile celei mai scurte căi de trecere a subiectului muncii de la început până la sfârșit;
ritm - repetare prin perioade stabilite de timp a tuturor proceselor de producție separate și a unui singur proces de producție pentru un anumit tip de produs.
Principiile de mai sus de organizare a producției în practică nu funcționează izolat unele de altele, ele sunt strâns legate între ele în fiecare proces de producție. Principiile organizării producției se dezvoltă inegal - la un moment dat sau altul, acest principiu este adus în prim plan sau devine de o importanță secundară.
Dacă combinația spațială a elementelor procesului de producție și a tuturor soiurilor sale se realizează pe baza formării structurii de producție a întreprinderii și a subdiviziunilor sale, organizarea proceselor de producție în timp își găsește expresia în stabilirea ordinii de efectuarea operațiunilor logistice individuale, combinația rațională a timpului de execuție a diferitelor tipuri de muncă, determinarea standardelor de programare a mișcării obiectelor de muncă.
Baza pentru construirea unui sistem logistic de producție eficient este programul de producție, format pe baza sarcinii de a satisface cererea consumatorilor și de a răspunde la întrebările: cine, ce, unde, când și în ce cantitate va fi produsă (produsă). Programul de producție vă permite să stabiliți diferențiate pentru fiecare unitate structurală de producție volumetrică și caracteristicile de timp ale fluxurilor de material.
Metodele utilizate pentru a crea un program de producție depind de tipul de producție, precum și de caracteristicile cererii și parametrii comenzilor pot fi unice, la scară mică, în serie, la scară largă, în masă.
Caracteristica tipului de producție este completată de caracteristica ciclului de producție - aceasta este perioada de timp dintre momentele de la începutul și sfârșitul procesului de producție în raport cu un produs specific din cadrul sistemului logistic (întreprindere).
Ciclul de producție constă în ore de lucru și pauze în timpul fabricării produselor.
La rândul său, perioada de lucru constă în principalul timp tehnologic, timpul efectuării transportului în operațiuni de control și timpul de preluare.
Timpul pauzelor este subdivizat în timpul pauzelor interoperative, inter-divizionare și alte pauze.
Durata ciclului de producție depinde în mare măsură de caracteristicile mișcării fluxului de material, care poate fi secvențial, paralel, paralel-secvențial.
În plus, durata ciclului de producție este influențată și de formele de specializare tehnologică a unităților de producție, de sistemul de organizare a proceselor de producție în sine, de progresivitatea tehnologiei utilizate și de nivelul de unificare a produselor.
Ciclul de producție include, de asemenea, timpul de așteptare - acesta este intervalul din momentul în care se primește comanda până în momentul în care începe să fie îndeplinită, pentru a minimiza care este important să se determine inițial lotul optim de produse - lotul la care costurile pe articol sunt valoarea minimă.
Pentru a rezolva problema alegerii lotului optim, se presupune că costul de producție constă în costurile directe de fabricație, costul stocării stocurilor și costul echipamentului de reorganizare și timpul de nefuncționare al acestuia la schimbarea unui lot.
În practică, lotul optim este adesea determinat de numărarea directă, dar în formarea sistemelor logistice este mai eficient să se utilizeze metode de programare matematică.
În toate domeniile de activitate, dar mai ales în logistica producției, sistemul de norme și standarde este de o importanță capitală. Include atât rate agregate cât și detaliate ale consumului de materiale, energie, utilizarea echipamentelor etc.

2. Metode de rezolvare a problemei de transport.

Problemă de transport (clasic)- problema planului optim pentru transportul unui produs omogen de la punctele de disponibilitate omogene la punctele de consum omogene pe vehicule omogene (cantitate predeterminată) cu date statice și o abordare liniară (acestea sunt principalele condiții ale problemei).

Pentru problema clasică de transport, se disting două tipuri de probleme: criteriul de cost (atingerea costurilor minime de transport) sau distanța și criteriul de timp (timpul minim este petrecut pentru transport).

Istoricul căutării metodelor de soluționare

Problema a fost formalizată mai întâi de un matematician francez Gaspard Monge v 1781 an ... Principalul progres a fost făcut în câmp în timpul Marele Război Patriotic Matematician și economist sovietic Leonid Kantorovici ... Prin urmare, uneori se numește această problemă problema transportului Monge - Kantorovich.

Descrierea tehnologiei: funcția de producție, mulți factori de producție utilizați, harta izoquantă.

Funcția de producție - dependența tehnologică dintre costul resurselor și producția produselor.

În mod oficial, funcția de producție arată astfel:

Să presupunem că funcția de producție descrie producția în funcție de costul forței de muncă și capital, adică luăm în considerare un model cu doi factori. Aceeași cantitate de producție poate fi obținută cu diferite combinații ale costurilor acestor resurse. Puteți utiliza un număr mic de mașini (adică să vă înțelegeți cu o investiție mică de capital), dar va trebui să cheltuiți multă muncă; dimpotrivă, este posibilă mecanizarea anumitor operațiuni, creșterea numărului de mașini și, prin urmare, reducerea costurilor forței de muncă. Dacă, pentru toate aceste combinații, cel mai mare volum posibil de ieșire rămâne constant, atunci aceste combinații sunt descrise de puncte situate pe același izoquant... Adică o izoquantă este o linie de ieșire sau cantitate egală. În grafic, x1 și x2 sunt resursele utilizate.

Fixând o cantitate diferită de producție, obținem una diferită de o cuantică, adică aceeași funcție de producție o are hartă izoquantă.

Proprietăți izolante:

izoantele au o pantă negativă... Există o relație inversă între resurse, adică, prin reducerea cantității de muncă, este necesară creșterea cantității de capital pentru a rămâne la același nivel de producție
izoquantele sunt convexe în raport cu originea... După cum sa menționat deja, în timp ce se reduce utilizarea unei resurse, este necesar să se mărească utilizarea unei alte resurse. Umflătura curbei de indiferență față de origine este o consecință a scăderii ratei marginale de substituție tehnologică (MRTS). Al treilea bilet spune despre MRTS în detaliu. O coborâre ușoară în jos a izoquantului indică o scădere a ratei de substituție a unei resurse cu alta, pe măsură ce ponderea acestui bun în producție scade.
valoarea absolută a pantei izoquantei este egală cu rata limitativă de substituție tehnologică. Unghiul de înclinare a izoquantului la un moment dat arată rata în funcție de care o resursă poate fi înlocuită cu alta fără a câștiga sau a pierde cantitatea de bun produs.
izoquantele nu se intersectează... Același nivel de eliberare nu poate fi caracterizat de mai multe izoquante, ceea ce contrazice definiția lor.

Pentru orice nivel de lansare, este posibil să se construiască o izoquantă

Justificarea matematică și semnificația economică a scăderii ratei marginale de substituție tehnologică.

Luați în considerare (înlocuirea forței de muncă cu capitalul). Adică, la cât de mult este dispus să renunțe producătorul pentru a obține 1 unitate de muncă. Este necesar să se demonstreze că acest indicator scade.
)

Dar, din moment ce Q = const, prin urmare, dQ = 0

După cum știți, produsul marginal al muncii scade (deoarece un producător rațional lucrează în a doua etapă a producției), prin urmare, cu o creștere a muncii, MPL va scădea și MPK va crește, deoarece cantitatea de capital scade, prin urmare, va scădea.

Motivul economic al scăderii MRTS este că în majoritatea industriilor factorii de producție nu sunt complet interschimbabili: se completează reciproc în procesul de producție. Fiecare factor poate face ceea ce un alt factor de producție nu poate face sau poate agrava.

Elasticitatea substituirii factorilor de producție (reprezentare convențională și logaritmică). Curbură și flexibilitate tehnologică

Elasticitatea substituției factorilor de producție este un indicator utilizat în teoria economică care arată câte procente este necesar să se modifice raportul factorilor de producție atunci când rata lor marginală de substituție se schimbă cu 1%, astfel încât volumul producției să rămână neschimbat.

Să determinăm rata marginală de înlocuire a capitalului prin muncă cu tehnologie

Apoi din biletul anterior rezultă:

La complot MRTS corespunde tangentei pantei tangentei la izoquantă în punctul care indică volumele necesare de muncă și capital pentru a produce un volum dat de ieșire.

Cu o tehnologie dată, fiecare valoare a raportului capital-muncă (punctul pe izoquant) corespunde propriului raport între productivitatea marginală a factorilor de producție. Cu alte cuvinte, una dintre caracteristicile specifice ale tehnologiei este cât de mult se modifică raportul dintre productivitatea marginală a capitalului și a muncii cu o mică modificare a raportului capital-muncă, adică cantitatea de capital utilizat. Aceasta este afișată grafic prin gradul de curbură al izoquantului. Măsura cantitativă a acestei proprietăți a tehnologiei este elasticitatea substituției factorilor de producție, care arată câte procente ar trebui să modifice raportul capital-muncă astfel încât, atunci când raportul productivității factorilor să se schimbe cu 1%, producția rămâne neschimbată. Notăm; apoi elasticitatea substituției factorilor de producție

laÎ= const

Aceasta este reprezentarea logaritmică. Pzdc)

Să notăm - rata marginală de substituție a factorului al treilea cu factorul al treilea și - raportul dintre numărul acestor factori utilizați în producție. Atunci elasticitatea substituției va fi egală cu:

Mai mult, se poate demonstra că

Singurul lucru pe care nu l-am putut găsi a fost concluzia acestui „...”.

Curbura izoquantului ilustrează elasticitatea substituirii factorilor atunci când se eliberează un anumit volum de produs și reflectă cât de ușor poate fi înlocuit un factor cu altul. În cazul în care izoquanta este similară cu un unghi drept, probabilitatea înlocuirii unui factor cu altul este extrem de mică. Dacă izoquanta are forma unei linii drepte cu o pantă descendentă, atunci probabilitatea de a înlocui un factor cu altul este semnificativă. (pentru mai multe detalii vezi despre diferite tipuri de funcții în al cincilea bilet)

Mai mult, atunci când izoquanta este continuă, aceasta caracterizează flexibilitatea tehnologiei. Adică, compania are un număr mare de opțiuni de producție.

Pentru o înțelegere excelentă a acestui rahat, verificați al 5-lea, totul este scris acolo.

Tipuri speciale de funcții de producție (liniare, Leontief, Cobb-Douglas, CES): prezentare analitică, grafică și economică; semnificația economică a coeficienților; reintoarcere la dimensiune; elasticitatea producției în funcție de factorii de producție; elasticitatea substituirii factorilor de producție.

Schimb de resurse perfect sau funcție de producție liniară

Dacă resursele utilizate în procesul de producție sunt absolut înlocuibile, atunci ele sunt constante în toate punctele izoquantei, iar harta izoantelor arată ca în figura 14.2. (Un exemplu de astfel de producție este o producție care permite atât automatizarea completă, cât și producția manuală a unui produs).

Q = a * K + b * L, unde K: L = b / a este proporția de substituire a unei resurse cu alta (punctul b de intersecție a axei Q1 OK, axa OL)

Întoarcerea constantă la scară, elasticitatea substituției resurselor este infinită, MRTSlk = -b / a, elasticitatea producției în raport cu munca - c și capitalul - a.

Structura fixă a utilizării resurselor, cunoscută și sub numele de funcția lui Leonov

Dacă procesul tehnologic exclude înlocuirea unui factor cu altul și necesită utilizarea ambelor resurse în proporții strict fixe, funcția de producție are forma unei litere latine, ca în Figura 14.3.

Un exemplu de acest fel este munca unui excavator (o lopată și o persoană). O creștere a unuia dintre factori fără o modificare corespunzătoare a cantității unui alt factor este irațională, prin urmare, numai combinațiile unghiulare de resurse vor fi eficiente din punct de vedere tehnic (punctul de colț este punctul în care se intersectează liniile orizontale și verticale corespunzătoare).

Q = min (aK; bL); Constanta revine la scară, K: L = b: o proporție de adunare, MRTSlk = 0, elasticitate de substituție 0, elasticitate de ieșire 0.

Funcția Cobb-Douglas

A-caracterizează tehnologia.

Elasticitatea substituirii factorilor poate fi oricare, revine la scară (1-constantă, mai mică decât una - descrescătoare, mai mult de o creștere), elasticitatea producției în raport cu factorii de producție pentru capital - alfa, pentru muncă - beta, elasticitate de substituire a factorilor

FuncţieCES

Funcția CES (CES - English Constant Elastisity of Substitution) este o funcție utilizată în teoria economică care are proprietatea de elasticitate constantă a substituției. Uneori este folosit și pentru modelarea unei funcții utilitare. Această funcție este utilizată în principal pentru a simula o funcție de producție. Unele alte funcții de producție populare sunt cazuri speciale sau limitative ale acestei funcții.

Revenirea la scară depinde de: mai mare de 1, creșterea revenirilor la scară, mai mică de 1 - scăderea revenirilor la scară, egală cu 1 - reveniri constante la scară.

PENTRU ACEST BILET NU AȚI GĂSIT ELASTICITATEA PROBLEMEI ORICÂND NORMALĂ

Conceptul de costuri economice. Isocosturi, semnificația lor economică.

Costuri economice- valoarea altor beneficii care ar putea fi obținute cu cea mai profitabilă utilizare a acelorași resurse. În acest caz, se vorbește despre „costuri de oportunitate”.

Costurile de oportunitate apar într-o lume cu resurse limitate și, prin urmare, toate dorințele umane nu pot fi satisfăcute. Dacă resursele ar fi nelimitate, atunci nicio acțiune nu ar fi efectuată în detrimentul alteia, adică costul de oportunitate al oricărei acțiuni ar fi egal cu zero. Evident, în lumea reală a resurselor limitate, costul oportunității este pozitiv.

Pe baza conceptului de costuri de oportunitate, putem spune asta costuri economice- acestea sunt plățile pe care firma este obligată să le efectueze sau veniturile pe care firma este obligată să le furnizeze furnizorului de resurse pentru a devia aceste resurse de la utilizarea lor în industriile alternative.

Aceste plăți pot fi externe sau interne.
Costurile externe sunt plăți pentru resurse (materii prime, combustibil, servicii de transport - tot ceea ce firma nu produce singură pentru a crea un produs) către furnizorii care nu aparțin proprietarilor firmei.

În plus, firma poate folosi anumite resurse care îi aparțin. Costurile resurselor proprii și auto-utilizate sunt costuri neplătite sau interne. Din punctul de vedere al firmei, aceste costuri interne sunt egale cu plățile în numerar care ar putea fi primite pentru o resursă autoutilizată dacă ar fi folosită cel mai bine în cel mai bun mod posibil. profit normal ca remunerație minimă a unui antreprenor, necesară pentru ca acesta să își continue afacerea și să nu treacă la altul. Astfel, costurile economice arată astfel:

Costuri economice = Costuri externe + Costuri interne (inclusiv profitul normal)

Isocosta- o linie dreaptă care arată toate combinațiile de factori de producție la un volum fix al costurilor totale.

Setul de izoquante ale unei firme individuale (harta izoantelor) arată combinațiile posibile din punct de vedere tehnic de resurse care furnizează firmei volumele de ieșire adecvate.

Atunci când alege combinația optimă de resurse, producătorul trebuie să ia în considerare nu numai tehnologia de care dispune, ci și resursele lor financiare, și prețurile factorilor relevanți de producție.

Combinarea acestor doi factori determină aria resurselor economice disponibile producătorului (constrângerea sa bugetară).

B constrângerea bugetară a producătorului poate fi scrisă ca o inegalitate:

P K * K + P L * L TC, unde

P K, P L - prețul capitalului, prețul muncii;

TC - costurile totale ale firmei pentru achiziționarea de resurse.

Dacă producătorul (firma) își cheltuie integral fondurile pentru achiziționarea acestor resurse, obținem următoarea egalitate:

P K * K + P L * L = TC

Pe grafic, izocostul este determinat în axele L, K, prin urmare, pentru construcție, este convenabil să aduceți egalitatea în următoarea formă:

–Ecuția izocostală.

Panta liniei isocosta este determinată de raportul dintre prețurile pieței forței de muncă și capital: (- P L / P K)

K

L

Metode de descriere a tehnologiilor.

Fabricarea este principala activitate a companiei. Firmele folosesc factori de producție, care se mai numesc factori de producție introduși (input). De exemplu, un proprietar de panificație folosește intrări precum munca muncitorului, materii prime precum făina și zahărul și capitalul investit în cuptoare, agitatoare și alte echipamente pentru a produce produse precum pâine, prăjituri și produse de patiserie.

Putem împărți factorii de producție în categorii mari - forță de muncă, materiale și capital, fiecare dintre care include grupări mai restrânse. De exemplu, forța de muncă ca factor de producție printr-un indicator al intensității muncii unește atât forța de muncă calificată (dulgheri, ingineri), cât și forța de muncă necalificată (muncitori agricoli), precum și eforturile antreprenoriale ale liderilor companiei. Materialele includ oțel, materiale plastice, electricitate, apă și orice alt produs pe care o firmă îl achiziționează și îl transformă într-un produs finit. Capitalul include clădiri, echipamente și stocuri.

Setul tuturor vectorilor tehnologici de ieșire netă pentru o firmă dată se numește set de producție și este notat cu Da.

SET DE PRODUCȚIE- set de admisibil moduri tehnologice dat sistem economic (X Y ) , Unde X - agregat vectori de cost, A Da - agregat eliberează vectori.

Elementul m este caracterizat de următoarele caracteristici: it închisși convex(cm. Multe), vectorii de costuri sunt neapărat diferiți de zero (nu puteți produce ceva fără a cheltui nimic), componentele PM - costuri și ieșiri - nu pot fi schimbate, deoarece producția este un proces ireversibil. Convexitatea P. m. Arată, în special, faptul că randamentul resurselor procesate scade odată cu creșterea volumului de procesare.

Proprietățile seturilor de producție

Luați în considerare o economie cu l bunuri. Este firesc pentru o anumită firmă să considere unele dintre aceste bunuri ca factori de producție și altele ca produse fabricate. Trebuie remarcat faptul că această diviziune este destul de arbitrară, deoarece compania are suficientă libertate în alegerea gamei de produse și a structurii costurilor. Atunci când descriem tehnologia, vom distinge între producție și costuri, prezentându-le pe acestea din urmă ca rezultate cu un semn minus. Pentru comoditatea prezentării tehnologiei, produsele care nu sunt nici consumate, nici produse de firmă vor fi referite la producția sa, iar volumul de producție al acestor produse este considerat egal cu 0. În principiu, nu este exclusă o situație în care produsul produs de firmă este consumat și de acesta în procesul de producție. În acest caz, vom lua în considerare numai producția netă a unui produs dat, adică producția sa minus costurile.

Fie ca numărul factorilor de producție să fie egal cu n, iar numărul tipurilor de produse fabricate egal cu m, astfel încât l = m + n. Notăm vectorul costurilor (în valoare absolută) prin r 2 Rn + și volumul ieșirilor prin y 2 Rm +

Vectorul (−r, yo) va fi numit vectorul ieșirilor nete. Setul tuturor vectorilor admisibili tehnologic ai ieșirilor nete y = (−r, yo) constituie setul tehnologic Y. Astfel, în cazul analizat, orice set tehnologic este un subset de Rn - × Rm +

Această descriere a producției este de natură generală. În același timp, este posibil să nu adere la o împărțire rigidă a mărfurilor în produse și factori de producție: același bun poate fi cheltuit cu o tehnologie, iar cu alta, poate fi produs.

Să descriem proprietățile seturilor tehnologice, în termenii cărora este de obicei dată o descriere a claselor specifice de tehnologii.

1. Non-vid. Setul tehnologic Y nu este gol. Această proprietate înseamnă posibilitatea fundamentală de a desfășura activități de producție.

2. Închidere. Setul tehnologic Y este închis. Această proprietate este destul de tehnică; înseamnă că setul tehnologic conține propria sa graniță, iar limita oricărei secvențe de vectori admisibili tehnologic de ieșire netă este, de asemenea, un vector admisibil tehnologic de ieșiri nete.

3. Libertatea de a cheltui. Această proprietate poate fi interpretată ca abilitatea de a produce aceeași cantitate de producție, dar la un cost mai mare sau mai puțin producție la același cost.

4. Absența „cornucopiei” („fără prânz gratuit”). dacă y 2 Y și y> 0, atunci y = 0. Această proprietate înseamnă că producția de bunuri într-o cantitate pozitivă necesită costuri într-un volum diferit de zero.

< _ < 1, тогда y0 2 Y. Иногда это свойство называют (не совсем точно) убывающей отдачей от масштаба. В случае двух благ, когда одно затрачивается, а другое производится, убывающая отдача означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора не возрастает. Если за час вы можете решить в лучшем случае 5 однотипных задач по микроэкономике, то за два часа в условиях убывающей отдачи вы не смогли бы решить более 10 таких задач.

50. Revenire nedescrescentă la scară: dacă y 2 Y și y0 = _y, unde _> 1, atunci y0 2 Y.

În cazul a două bunuri, în care una este cheltuită și cealaltă este produsă, randamentele crescătoare înseamnă că productivitatea medie (maximă posibilă) a factorului de intrare nu scade.

500. Revenirea constantă la scară - situație în care un set tehnologic îndeplinește simultan condițiile 5 și 50, adică dacă y 2 Y și y0 = _y0, atunci y0 2 Y 8_> 0.

Revenirea la scară constantă din punct de vedere geometric înseamnă că Y este un con (posibil nu conține 0). În cazul a două bunuri, atunci când una este cheltuită și cealaltă este produsă, randamentele constante înseamnă că productivitatea medie a factorului de intrare nu se modifică atunci când volumul producției se schimbă.

5. Revenirea la scară care nu crește: dacă y 2 Y și y0 = _y, unde 0< _ < 1, тогда y0 2 Y. Иногда это свойство называют (не совсем точно) убывающей отдачей от масштаба. В случае двух благ, когда одно затрачивается, а другое производится, убывающая отдача означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора не возрастает. Если за час вы можете решить в лучшем случае 5 однотипных задач по микроэкономике, то за два часа в условиях убывающей отдачи вы не смогли бы решить более 10 таких задач.

50. Întoarcerea nedescrescătoare a scării: dacă y 2 Y și y0 = _y, unde _> 1, atunci y0 2 Y. În cazul a două bunuri, când una este cheltuită și cealaltă este produsă, randamentul crescător înseamnă că ( maxim posibil) productivitatea medie a factorului de intrare nu scade.

500. Revenirea constantă la scară - situație în care un set tehnologic îndeplinește simultan condițiile 5 și 50, adică dacă y 2 Y și y0 = _y0, atunci y0 2 Y 8_> 0.

Revenirea la scară constantă din punct de vedere geometric înseamnă că Y este un con (posibil nu conține 0).

În cazul a două bunuri, atunci când una este cheltuită și cealaltă este produsă, randamentele constante înseamnă că productivitatea medie a factorului de intrare nu se modifică atunci când volumul producției se schimbă.

6. Convexitate: Proprietatea de convexitate înseamnă capacitatea de a „amesteca” tehnologiile în orice proporție.

7. Ireversibilitate

Să presupunem că se pot produce 5 rulmenți dintr-un kilogram de oțel. Ireversibilitatea înseamnă că este imposibil să se producă un kilogram de oțel din 5 rulmenți.

8. Aditivitate. dacă y 2 Y și y0 2 Y, atunci y + y0 2 Y. Proprietatea de aditivitate înseamnă capacitatea de a combina tehnologiile.

9. Permisiunea inacțiunii:

Teorema 44:

1) Din întoarcerile la scară și aditivitate neîmbunătățite ale setului tehnologic, urmează convexitatea acestuia.

2) Randamentele non-crescătoare la scară rezultă din convexitatea setului tehnologic și admisibilitatea inacțiunii. (Conversa nu este întotdeauna adevărată: cu reculul care nu crește, este posibil ca tehnologia să nu fie convexă.)

3) Un set tehnologic are proprietățile aditivității și a revenirilor la scară care nu cresc, dacă și numai dacă este un con convex.

Nu toate tehnologiile admise sunt la fel de importante din punct de vedere economic.

Tehnologiile eficiente se remarcă printre cele admisibile. O tehnologie admisibilă y se numește de obicei eficientă dacă nu există altă tehnologie admisibilă (diferită de aceasta) y0, astfel încât y0> y. Evident, această definiție a eficienței implicit implică faptul că toate bunurile sunt de dorit într-un anumit sens. Tehnologiile eficiente constituie frontiera efectivă a setului tehnologic. În anumite condiții, devine posibilă utilizarea frontierei eficiente în analiză în locul întregului set tehnologic. În acest caz, este important ca pentru orice tehnologie admisibilă y să existe o tehnologie eficientă y0 astfel încât y0> y. Pentru ca această condiție să fie îndeplinită, este necesar ca setul tehnologic să fie închis și că în cadrul setului tehnologic ar fi imposibil să se mărească producția unui bun până la infinit fără a reduce producția altor bunuri.

METODA TEHNOLOGICĂ- un concept general care combină cele două: T. p. producție (metoda de producție, tehnologia) și T. p. consum; un set de caracteristici de bază ( ingrediente) a procesului de producție (respectiv - consum) una sau alta produs... V model economic și matematic T. s. Sau tehnologia (activitatea), este descrisă de un sistem de numere inerente ( vector): de exemplu. tarifele de costși eliberare diverse resurse pe unitate de timp sau pe unitate de producție etc., inclusiv coeficienți consumul de materiale, intensitatea muncii, intensitatea capitalului, intensitatea capitalului.

De exemplu, dacă X = (X 1 , ..., x m) este vectorul costurilor resurselor (listat sub numerele i = 1, 2, ..., m), A y = (y 1 , ..., y n) este vectorul volumelor de producție a produselor j = 1, 2, ..., n, atunci tehnologiile, procesele tehnologice, metodele de producție pot fi numite perechi de vectori ( X y ). Acceptabilitate tehnologicăînseamnă aici posibilitatea de a obține din ingredientele utilizate (utilizate) ale vectorului X vectorul produsului y .

Totalitatea tuturor tehnologiilor acceptabile posibile ( X Y) forme set tehnologic sau industrial dat sistem economic.

VECTOR- un set ordonat dintr-un anumit număr de numere reale (aceasta este una dintre multele definiții - cea care este acceptată în metode economice și matematice). De exemplu, planul zilnic al magazinului poate fi scris într-un vector 4-dimensional (5, 3, -8, 4), unde 5 înseamnă 5 mii de părți dintr-un singur tip, 3 - 3 mii de părți din al doilea tip, (-8 ) - consumul de metal în t și ultima componentă, de exemplu, economii de 4 mii kW. h de energie electrică. După cum puteți vedea, numărul de componente ( coordonate) V. în mod arbitrar (în acest caz, planul magazinului nu poate fi format din patru, ci din orice alt număr de indicatori); este inacceptabil să le schimbi; pot fi fie pozitive, fie negative.

Vectorii pot fi înmulțiți cu un număr real (de exemplu, dacă măriți planul de 1,2 ori în toți indicatorii, obțineți un V. nou cu același număr de componente). Vectorii care conțin un număr egal de componente aditive cu același nume pot fi adăugate și scăzute.

Desemnarea scrisorii V. este obișnuită să fie evidențiată cu caractere aldine (deși acest lucru nu este întotdeauna respectat).

Suma vectorilor X = (X 1 ,..., X n) și y = (y 1 , ..., y n) este, de asemenea, V. ( X + y ) = (X 1 + y 1 , ..., x n + y n).

Produs dot al vectorilor X și y se numește un număr egal cu suma produselor componentelor corespunzătoare ale acestor V.:

Vectori X și y sunt numite ortogonal dacă produsul lor punct este zero.

Egalitatea B. - componentă, adică doi V. sunt egali dacă componentele lor corespunzătoare sunt egale.

Vector 0 - (0, ..., 0) nul;

n-dimensional V. - pozitiv ( X > 0) dacă toate componentele sale x i Peste zero, non-negativ (X ≥ 0) dacă toate componentele sale x i mai mare decât 0 sau egal cu zero, adică x i≤ 0; și semipozitiv dacă, în acest caz, cel puțin o componentă x i≥ 0 (notație X ≥ 0); dacă V. au un număr egal de componente, este posibilă ordonarea lor (completă sau parțială), adică introducerea pe setul de vectori relație binară “> ”: X > y , X ≥y , X ≥ y în funcție de diferența pozitivă, semi-pozitivă sau non-negativă X y.

Legea întoarcerii în diminuare- o declarație că, dacă se folosește oricare factorul de producțieși, în același timp, se economisesc costurile tuturor celorlalți factori (se numesc fix), apoi volumul fizic produs marginal produs cu ajutorul factorului specificat va scădea (cel puțin dintr-o anumită etapă).

GRÂBA DE PRODUCȚIE- locusul punctelor care arată o creștere proporțională a numărului resurse atunci când se utilizează un anumit metoda tehnologică odată cu creșterea intensitate.

De exemplu, dacă este o combinație de 3 unități. capital (fonduri) și 2 unități. travaliu (adică o combinație de 3 K + 2L) dă 10 puncte. un produs, apoi combinații de 6 K + 4L, 9K + 6L, oferind respectiv 20 și 30 de unități. etc., va sta pe grafic pe o linie dreaptă numită P. l. sau fascicul tehnologic. La o combinație diferită de factori P. l. va avea o pantă diferită. Datorită indivizibilității multora factori de productie numărul metodelor tehnologice și, în consecință, P. l. este acceptat ca final.

De exemplu, dacă o brigadă de trei mineri lucrează într-o față de cărbune și li se adaugă încă un miner, producția va crește cu un sfert, iar dacă adăugați o a cincea, a șasea, a șaptea, creșterea producției va scădea, și apoi se va opri cu totul: minerii în condiții înguste se vor interfera pur și simplu unul pe celălalt.

Conceptul cheie aici este productivitatea marginală a muncii (mai larg - productivitatea marginală a unui factor de producție δ Da/δ X). De exemplu, dacă sunt luați în considerare doi factori, atunci cu o creștere a costurilor unuia dintre ei (primul sau al doilea), productivitatea sa marginală scade.

Legea este aplicabilă pe termen scurt și pentru această tehnologie (revizuirea acesteia schimbă situația).

Cu ajutorul seturilor tehnologice, sunt modelate procesele de producție care sunt efectuate de sistemul de producție. Fiecare sistem are intrări și ieșiri:

Procesul de producție este prezentat ca un proces de transformare fără echivoc a factorilor de producție în produse de producție într-un interval de timp dat. În acest interval de timp, există o dispariție completă a factorilor și apariția produselor.

Cu o astfel de modelare - transformarea factorilor în produse - rolul structurii interne a sistemului de producție, organizarea și metodele sale de gestionare a producției este complet ascuns.

Observatorii au acces la informații despre starea intrărilor și ieșirilor sistemului. Aceste stări sunt determinate, pe de o parte, de un punct din spațiul bunurilor și factorilor și, pe de altă parte, starea ieșirilor este determinată de un punct din spațiul ieșirilor.

Modelele spațiale includ mulți factori spațiali, mulți parametri spațiali și multe tehnologii disponibile.

Tehnologia este un mod tehnic de conversie a factorilor de producție în produse.

Un set ordonat de doi vectori se numește proces tehnologic, unde este un vector al factorilor de producție, este un vector al produselor. Procesul tehnologic este cel mai simplu model de spațiu, care este setat dintr-o serie de elemente:

Astfel, procesul tehnologic este descris de un set de (n + m) numere :.

De exemplu, să luăm un computer de tip A și, adică, se produce un computer, apoi este descris acest proces tehnologic 7+1=8 numere.

În practica modelării sistemelor reale de producție, ipoteza tehnologiilor liniare este utilizată ca prima aproximare.

Liniaritatea tehnologiilor implică o creștere a produselor V cu seturi de factori în creștere U.

Luați în considerare principalele proprietăți ale proceselor tehnologice:

1. Asemănare.

Procesul tehnologic este similar, adică ~ dacă condiția este îndeplinită: , ceea ce înseamnă că este același proces tehnologic, dar continuând cu intensitatea:

Pentru astfel de procese, sistemul egalităților este îndeplinit:

Astfel de procese se află pe aceeași linie de tehnologie de producție.

2. Diferența.

Diferite procese tehnologice se află pe raze diferite și nu pot fi transformate una în cealaltă prin înmulțirea cu un număr pozitiv.

3. Procese tehnologice compozite.

Un proces se numește compus dacă există și asta.

Un proces care nu este compus se numește proces de bază.

O rază care trece prin origine în direcția procesului de bază se numește rază de bază. Fiecare fascicul de bază corespunde unei tehnologii de bază și toate punctele fasciculului de bază reflectă procese tehnologice similare.

Prin definiție, un proces tehnologic de bază nu poate fi exprimat în termeni de combinație liniară a altor procese tehnologice.

În octantul pozitiv, puteți plasa un hiperplan care taie segmentele de unitate din fiecare coordonată.

Acest lucru vă permite să vizualizați tehnologiile de producție.

Să arătăm posibilele intersecții ale hiperplanului prin raze tehnologice.

1) Singura tehnologie disponibilă este de bază.

2) Apariția unei noi tehnologii de bază suplimentare.

3) Combinație liniară a două tehnologii de bază.

4) A treia tehnologie de bază suplimentară.

5) Posibilitatea de a forma tehnologii care se află în aria triunghiulară.

6) Două zone triunghiulare cu șase tehnologii de bază.

7) Combinarea tehnologiilor - hexagon convex.

8) Cazul cu un număr infinit de tehnologii de bază este posibil.

În aceste imagini grafice, toate punctele interne și de graniță, cu excepția vârfurilor, reflectă procese tehnologice compozite, iar setul tuturor proceselor tehnologice este numit un set tehnologic. Z.

Seturile tehnologice au următoarele proprietăți:

1. Nu exercițiul cornucopiei.

(Ø, V) Z, prin urmare, V = Ø.

(Ø, Ø) Zînseamnă inacțiune.

2. Setul tehnologic este convex, iar procesele, ale căror raze se află la marginea acestui set, se pot amesteca între ele.

3. Setul tehnologic este limitat de sus, din cauza resurselor economice limitate.

4. Setul tehnologic este închis, iar tehnologiile eficiente se află la granița acestui set.

O proprietate specifică a seturilor tehnologice este existența proceselor ineficiente.

Dacă există, atunci sunt posibile orice procese tehnologice care să satisfacă condiția (pentru factori), (pentru produse).

Exista (, Ø) Z, ceea ce înseamnă distrugerea completă a factorilor de producție. Produsele nu apar deloc în el.

Procesul tehnologic este mai eficient decât dacă și / sau.

FUNCȚIA DE PRODUCȚIE.

O descriere matematică a unui proces eficient poate fi transformată într-o funcție de producție prin agregarea factorilor de producție, precum și prin agregarea produselor de producție într-un singur produs.

2. Seturi de producție și funcții de producție

2.1. Seturile de producție și proprietățile acestora

Luați în considerare cel mai important participant la procesele economice - un producător individual. Producătorul își realizează obiectivele numai prin intermediul consumatorului și, prin urmare, trebuie să ghicească, să înțeleagă ce dorește și să-și satisfacă nevoile. Vom presupune că există n bunuri diferite, cantitatea bunului al n-lea este notată cu x n, atunci un anumit set de bunuri este notat cu X = (x 1, ..., x n). Vom lua în considerare numai cantități non-negative de bunuri, astfel încât xi  0 pentru orice i = 1, ..., n sau X> 0. Ansamblul tuturor seturilor de bunuri se numește spațiul bunurilor C. Un set de bunurile pot fi interpretate ca un coș în care aceste bunuri se află în cantitatea corespunzătoare.

Să funcționeze economia în spațiul bunurilor С = (X = (x 1, x 2,…, x n): x 1,…, x n  0). Spațiul mărfurilor constă din vectori n-dimensionali negativi. Luați în considerare acum un vector T de dimensiune n, ale cărui primele m componente sunt ne-pozitive: x 1,…, xm  0, iar ultimele componente (nm) sunt ne-negative: xm + 1,…, xn  0 Vectorul X = (x 1,…, xm) îl vom apela vector de cost, iar vectorul Y = (x m + 1, ..., x n) - eliberați vectorul... Se numește vectorul T = (X, Y) în sine vector de intrare-ieșire sau tehnologie.

În sensul său, tehnologia (X, Y) este o modalitate de procesare a resurselor în produse finite: prin „amestecarea” resurselor în cantitate de X, obținem produse în cantitate de Y. Fiecare producător specific este caracterizat de un set de tehnologii τ, care se numește set de producție... Un set umbrit tipic este prezentat în Fig. 2.1. Un anumit producător cheltuie unul bun pentru a produce altul.

Orez. 2.1. Set de producție

Setul de fabricație reflectă lățimea capabilităților producătorului: cu cât este mai mare, cu atât sunt mai largi posibilitățile sale. Un set de producție trebuie să îndeplinească următoarele condiții:

este închis - asta înseamnă că dacă vectorul de intrare-ieșire T este aproximat în mod arbitrar strâns de vectori de la τ, atunci T aparține și lui τ (dacă toate punctele vectorului T se află în τ, atunci Тτ vezi Fig. 2.1 puncte C și B);

în τ (-τ) = (0), adică dacă Tτ, T ≠ 0, atunci -Тτ - este imposibil să schimbăm costurile și producția, adică producția este un proces ireversibil (set - τ se află în al patrulea cadran, unde y 0);

setul este convex, această ipoteză duce la o scădere a rentabilității resurselor procesate cu o creștere a volumelor de producție (la o creștere a ratelor de consum ale costurilor pentru produsele finite). Deci, din fig. 2.1 este clar că y / x  scade pe măsură ce x  -. În special, presupunerea convexității duce la o scădere a productivității muncii cu o creștere a producției.

Adesea, convexitatea pur și simplu nu este suficientă, iar apoi este necesară convexitatea strictă a setului de producție (sau a unei părți a acestuia).

2.2. Curba capacității de producție

și costuri de oportunitate

Conceptul considerat al setului de producție se distinge printr-un grad ridicat de abstractitate și, datorită generalității sale extreme, este de puțin folos pentru teoria economică.

Luați în considerare, de exemplu, Fig. 2.1. Să începem cu punctele B și C. Costurile pentru aceste tehnologii sunt aceleași, dar rezultatul este diferit. Un producător, dacă nu este lipsit de bun simț, nu va alege niciodată tehnologia B, deoarece există o tehnologie mai bună C. În acest caz (vezi Fig. 2.1), pentru fiecare x  0, găsim cel mai înalt punct (x, y) în setul de producție ... Evident, la costul x, tehnologia (x, y) este cea mai bună. Fără tehnologie (x, b) cu funcția de producție b. Definiție precisă a funcției de producție:

Y = f (x)  (x, y)  τ, iar dacă (x, b)  τ și b  y, atunci b = x .

Smochin. 2.1 se poate observa că pentru orice x  0 un astfel de punct y = f (x) este unic, ceea ce, de fapt, ne permite să vorbim despre funcția de producție. Dar acest lucru este atât de simplu dacă se produce un singur produs. În cazul general, pentru vectorul de cost X denotăm mulțimea М х = (Y: (X, Y) τ). Setul M x - acesta este setul tuturor rezultatelor posibile la un cost X. În acest set, considerați „curba” posibilităților de producție K x = (YM x: dacă ZM x și Z  Y, atunci Z = X), adică K x - aceasta este o mulțime de cele mai bune versiuni, care nu sunt mai bune... Dacă sunt produse două bunuri, atunci aceasta este o curbă, dacă sunt produse mai mult de două bunuri, atunci aceasta este o suprafață, un corp sau un set de dimensiuni chiar mai mari.

Deci, pentru orice vector de costuri X, toate cele mai bune rezultate se află pe curba (suprafața) posibilităților de producție. Prin urmare, din motive economice, producătorul trebuie să aleagă tehnologia de acolo. Pentru cazul eliberării a două bunuri y 1, y 2, imaginea este prezentată în Fig. 2.2.

Dacă operăm numai cu indicatori naturali (tone, metri etc.), atunci pentru un anumit vector de costuri X trebuie să alegem doar vectorul de ieșire Y pe curba posibilităților de producție, dar este încă imposibil să decidem ce anume trebuie aleasă ieșirea. Dacă setul de producție τ în sine este convex, atunci Mx este, de asemenea, convex pentru orice vector de cost X. În cele ce urmează, avem nevoie de convexitatea strictă a setului Mx. În cazul eliberării a două mărfuri, aceasta înseamnă că tangenta la curba posibilităților de producție K x are un singur punct în comun cu această curbă.

Orez. 2.2. Curba capacității de producție

Să analizăm acum problema așa-numitelor costuri de oportunitate... Să presupunem că ieșirea este fixă în punctul A (y 1, y 2), vezi Fig. 2.2. Acum a apărut necesitatea creșterii producției celui de-al doilea bun cu y 2, folosind, desigur, setul anterior de costuri. Acest lucru se poate face, după cum se poate vedea din Fig. 2.2, transferând tehnologia la punctul B, pentru care, cu o creștere a producției celui de-al doilea produs cu y 2, va fi necesar să se reducă producția primului produs cu y 1.

Imputatcheltuieliprimul produs în raport cu al doilea la punctul respectiv A numit
... Dacă curba posibilității de producție este dată de ecuația implicită F (y 1, y 2) = 0, atunci δ 1 2 (A) = (F / y 2) / (F / y 1), unde derivatele parțiale sunt luate în punctul A. Dacă priviți cu atenție figura în cauză, puteți găsi un tipar curios: când vă deplasați de la stânga în jos curba oportunităților de producție, costurile de oportunitate scad de la valori foarte mari la foarte valori mici.

2.3. Funcțiile de producție și proprietățile acestora

Funcția de producție se numește raportul analitic care conectează valorile variabile ale costurilor (factori, resurse) cu valoarea producției. Din punct de vedere istoric, una dintre cele mai vechi lucrări privind construcția și utilizarea funcțiilor de producție a fost lucrarea privind analiza producției agricole din Statele Unite. În 1909, Mitscherlich a propus o funcție de producție neliniară: îngrășământ - randament. În mod independent, Spillman a propus o ecuație exponențială a randamentului. Pe baza lor au fost construite o serie de alte funcții de producție agrotehnică.

Funcțiile de producție sunt concepute pentru a simula procesul de producție al unei anumite unități economice: o firmă individuală, o industrie sau întreaga economie a statului în ansamblu. Cu ajutorul funcțiilor de producție, sunt rezolvate următoarele sarcini:

evaluarea returnării resurselor în procesul de producție;

prognozarea creșterii economice;

dezvoltarea de opțiuni pentru un plan de dezvoltare a producției;

optimizarea funcționării unei unități de afaceri sub rezerva unui anumit criteriu și constrângeri de resurse.

Vedere generală a funcției de producție: Y = Y (X 1, X 2,…, X i,…, X n), unde Y este un indicator care caracterizează rezultatele producției; X - indicator factorial al primei resurse de producție; n este numărul de indicatori factoriali.

Funcțiile de producție sunt definite de două seturi de ipoteze: matematică și economică. Funcția de producție este presupusă matematic ca fiind continuă și de două ori diferențiată. Ipotezele economice sunt următoarele: în absența a cel puțin unei resurse de producție, producția este imposibilă, adică Y (0, X 2, ..., X i, ..., X n) =

Y (X 1, 0,…, X i,…, X n) =…

Y (X 1, X 2,…, 0,…, X n) =…

Y (X 1, X 2,…, X i,…, 0) = 0.

Cu toate acestea, nu este posibil să se determine în mod satisfăcător singurul rezultat Y pentru costurile date X cu ajutorul indicatorilor naturali: alegerea noastră s-a restrâns doar la „curba” posibilităților de producție K x. Din aceste motive, a fost elaborată doar o teorie a funcțiilor de producție ale producătorilor, a căror producție poate fi caracterizată printr-o singură cantitate - fie volumul producției, dacă este produs un singur produs, fie costul total al întregii producții.

Spațiul de cost este m-dimensional. Fiecare punct din spațiul costurilor X = (x 1,…, x m) corespunde unei singure ieșiri maxime (a se vedea figura 2.1) produsă folosind aceste costuri. Această relație se numește funcția de producție. De obicei, însă, funcția de producție nu este înțeleasă atât de restrictiv, iar orice relație funcțională între intrare și ieșire este considerată o funcție de producție. În cele ce urmează, vom presupune că funcția de producție are derivatele necesare. Funcția de producție f (X) se presupune că satisface două axiome. Primul afirmă că există un subset al spațiului de cost numit zona economică E, în care o creștere a oricărui tip de intrare nu duce la o scădere a ieșirii. Astfel, dacă X 1, X 2 sunt două puncte ale acestei regiuni, atunci X 1  X 2 implică f (X 1)  f (X 2). În formă diferențială, acest lucru se exprimă prin faptul că în această regiune toate primele derivate parțiale ale funcției sunt nenegative: f / x 1 ≥ 0 (orice funcție crescătoare are o derivată mai mare decât zero). Aceste derivate se numesc produse marginaleși vectorul f / X = (f / x 1,…, f / x m) - vector de produse marginale (arată de câte ori se va schimba rezultatul când se modifică costurile).

A doua axiomă afirmă că există un subset mult convex al domeniului economic pentru care subseturile (XS: f (X)  a) sunt convexe pentru toate a  0. În acest subset S, matricea Höss compusă din derivatele secundare ale funcției f (X), sunt negative definite; prin urmare,  2 f / x 2 i

Să ne oprim asupra conținutului economic al acestor axiome. Prima axiomă afirmă că funcția de producție nu este o funcție complet abstractă inventată de un teoretician matematician. Ea, deși nu în întregul său domeniu de definiție, ci doar în partea sa, reflectă o afirmație importantă din punct de vedere economic, incontestabilă și în același timp trivială: vÎntr-o economie rezonabilă, o creștere a costurilor nu poate duce la o scădere a producției. Din a doua axiomă, vom explica doar semnificația economică a cerinței ca derivata  2 f / x 2 i să fie mai mică decât zero pentru fiecare tip de cost. Această proprietate este numită în economie perandamente diminuate sau randamente diminuate: pe măsură ce costurile cresc, începând dintr-un anumit moment (la intrarea în zona S!), deprodusul marginal începe să scadă. Exemplul clasic al acestei legi este adăugarea unui număr tot mai mare de muncă la producția de cereale pe un teren fix. În cele ce urmează, se presupune că funcția de producție este considerată pe domeniul S, în care ambele axiome sunt valabile.

Este posibil să alcătuim funcția de producție a unei întreprinderi date fără să știm măcar nimic despre aceasta. Trebuie doar să puneți un contor (o persoană sau un fel de dispozitiv automat) la poarta întreprinderii, care va înregistra X - resurse importate și Y - cantitatea de produse pe care întreprinderea le-a produs. Dacă acumulați o mulțime de astfel de informații statice, luați în considerare funcționarea întreprinderii în diferite moduri, atunci puteți prevedea producția, cunoscând doar volumul resurselor importate, iar aceasta este cunoașterea funcției de producție.

2.4. Funcția de producție Cobb-Douglas

Luați în considerare una dintre cele mai comune funcții de producție - funcția Cobb-Douglas: Y = AK  L , unde A, , > 0 sunt constante,  + 

Y / K = AαK α -1 L β> 0, Y / L = AβK α L β -1> 0.

Negativitatea derivatelor parțiale secundare, adică o scădere a produselor marginale: Y 2 / K 2 = Aα (α - 1) K α –2 L β 0.

Să trecem la principalele caracteristici economice și matematice ale funcției de producție Cobb-Douglas. Productivitatea medie a muncii definit ca y = Y / L - raportul dintre volumul produsului produs și cantitatea de muncă cheltuită; randamentul mediu al activelor k = Y / K - raportul dintre volumul produsului produs și valoarea fondurilor.

Pentru funcția Cobb-Douglas, productivitatea medie a muncii y = AK  L  și, în virtutea condiției  cu o creștere a costurilor forței de muncă, productivitatea medie a muncii scade. Această concluzie permite o explicație naturală - întrucât valoarea celui de-al doilea factor K rămâne neschimbată, înseamnă că forța de muncă nou atrasă nu este prevăzută cu mijloace suplimentare de producție, ceea ce duce la o scădere a productivității muncii (acest lucru este valabil și în cele mai caz general - la nivelul seturilor de producție).

Productivitatea marginală a muncii Y / L = AβK α L β -1> 0, din care se poate observa că pentru funcția Cobb-Douglas productivitatea marginală a muncii este proporțională cu productivitatea medie și mai mică decât aceasta. Productivitatea medie și marginală a capitalului este determinată în mod similar. Pentru ei, raportul indicat este, de asemenea, adevărat - randamentul marginal al activelor este proporțional cu randamentul mediu al activelor și mai mic decât acesta.

O caracteristică importantă este cum ar fi raportul capital-muncă f = K / L, indicând volumul fondurilor pe angajat (pe unitate de muncă).

Să găsim acum elasticitatea forței de muncă a producției:

(Y / L) :( Y / L) = (Y / L) L / Y = AβK α L β -1 L / (AK α L β) = β.

Deci sensul este clar parametru - aceasta este elasticitatea (raportul dintre productivitatea marginală a muncii și productivitatea medie a muncii) a produselor după muncă... Elasticitatea forței de muncă a produselor înseamnă că, pentru a crește producția cu 1%, este necesar să crească volumul resurselor de muncă cu %. Același sens are parametru – aceasta este elasticitatea produselor pe fonduri.

Și încă o semnificație pare interesantă. Fie  +  = 1. Este ușor să verificați dacă Y = (Y / K) / K + (Y / L) L (înlocuind calculatedY / K, Y / L calculat anterior în această formulă). Vom presupune că societatea este formată doar din muncitori și antreprenori. Apoi, venitul Y se împarte în două părți - venitul lucrătorilor și venitul antreprenorilor. Deoarece la dimensiunea optimă a firmei valoarea Y / L - produsul marginal pentru muncă - coincide cu salariile (acest lucru poate fi dovedit), atunci (Y / L) L reprezintă venitul lucrătorilor. În mod similar, valoarea Y / K este productivitatea marginală a capitalului, a cărei semnificație economică este rata profitului, prin urmare, (Y / K) K reprezintă venitul antreprenorilor.

Funcția Cobb-Douglas este cea mai faimoasă dintre toate funcțiile de producție. În practică, atunci când se construiește, unele cerințe sunt uneori abandonate (de exemplu, suma  +  poate fi mai mare de 1 etc.).

Exemplul 1. Fie funcția de producție să fie funcția Cobb-Douglas. Pentru a crește producția cu a = 3%, este necesar să crească mijloacele fixe cu b = 6% sau numărul de angajați cu c = 9%. În prezent, un angajat produce produse pe lună la M = 10 4 ruble . , și numărul total de lucrători L = 1000. Imobilizările sunt estimate la K = 10 8 ruble. Găsiți funcția de producție.

Soluţie. Să găsim coeficienții , :  = a / b = 3/6 = 1/2,  = a / c = 3/9 = 1/3, prin urmare, Y = AK 1/2 L 1/3. Pentru a găsi A, înlocuim valorile lui K, L, M în această formulă, având în vedere că Y = ML = 1000 . 10 4 = 10 7 - - 10 7 = A (10 8) 1/2 1000 1/3. Prin urmare A = 100. Astfel, funcția de producție are forma: Y = 100K 1/2 L 1/3.

2.5. Teoria firmei

În secțiunea anterioară, analizând și modelând comportamentul producătorului, am folosit doar indicatori naturali și am renunțat la prețuri, dar nu am putut rezolva în cele din urmă problema producătorului, adică să indicăm singurul mod de acțiune pentru el în condițiile actuale. Acum să introducem prețurile. Fie P un vector de preț. Dacă Т = (X, Y) este o tehnologie, adică vectorul „intrare-ieșire”, X reprezintă costuri, Y este o ieșire, atunci produsul punct PT = PX + PY este profitul din utilizarea tehnologiei T (costurile sunt cantități negative) ... Acum, să formulăm o formalizare matematică a axiomei care descrie comportamentul producătorului.

Provocarea producătorului: producătorul alege o tehnologie din grupul său de producție într-un efort de a maximiza profiturile . Deci, producătorul rezolvă următoarea problemă: РТ → max, Tτ. Această axiomă simplifică foarte mult situația de alegere. Deci, dacă prețurile sunt pozitive, ceea ce este firesc, atunci componenta „producție” a soluției la această problemă va sta automat pe curba posibilităților de producție. Într-adevăr, fie T = (X, Y) o soluție la problema producătorului. Apoi există ZK x, Z  Y, prin urmare, P (X, Z)  P (X, Y), de aceea punctul (X, Z) este, de asemenea, o soluție la problema producătorului.

În cazul a două tipuri de produse, problema poate fi rezolvată grafic (Fig. 2.3). Pentru a face acest lucru, trebuie să „mișcați” o linie dreaptă perpendiculară pe vectorul P în direcția pe care o arată; atunci ultimul punct, când această linie dreaptă încă intersectează setul de producție, va fi soluția (în Fig. 2.3. acesta este punctul T). Este ușor de văzut că convexitatea strictă a părții necesare a setului de producție din al doilea cadran garantează unicitatea soluției. Același raționament este valabil în cazul general, pentru un număr mai mare de tipuri de intrări și ieșiri. Cu toate acestea, nu vom lua această cale, ci vom folosi aparatul funcțiilor de producție și vom numi producătorul o firmă. Deci, producția unei firme poate fi caracterizată printr-o singură cantitate - fie volumul producției, dacă este produs un produs, fie costul total al întregii producții. Spațiul de cost este m-dimensional, vectorul de cost este X = (x 1,…, x m). Costurile determină în mod unic ieșirea Y, iar această relație este funcția de producție Y = f (X).

Orez. 2.3. Soluția problemei producătorului

În această situație, să notăm cu P vectorul prețurilor pentru bunuri-costuri și să fie v prețul unei unități a bunurilor produse. Prin urmare, profitul W, care este în cele din urmă o funcție a lui X (și a prețurilor, dar sunt considerate constante), este W (X) = vf (X) - PX → max, X  0. Echivalând derivatele parțiale ale funcției De la W la zero, obținem:

v (f / x j) = p j pentru j = 1, ..., m sau v (f / X) = P (2.1)

Vom presupune că toate costurile sunt strict pozitive (costurile zero pot fi pur și simplu excluse din considerație). Atunci punctul dat de relația (2.1) se dovedește a fi un punct intern, adică un punct extremum. Și întrucât definirea negativă a matricei Hessian a funcției de producție f (X) este de asemenea asumată (pe baza cerințelor pentru funcțiile de producție), acesta este punctul maxim.

Deci, în ipotezele naturale privind funcțiile de producție (aceste ipoteze sunt îndeplinite pentru un producător cu bun simț și într-o economie rezonabilă), relația (2.1) oferă o soluție la problema firmei, adică determină cantitatea X * de resurse procesate, ca rezultat al cărui rezultat Y * = f (X *) Punctul X *, sau (X *, f (X *)) se numește soluția optimă a firmei. Să ne oprim asupra semnificației economice a relației (2.1). După cum sa menționat, (f / X) = (f / x 1, ..., f / x m) se numește vectorul produsului limitativ sau vectorul produselor limitative, iar f / x i se numește i-a produs marginal, sau un răspuns de eliberare la o schimbare eu -costurile articolului... Prin urmare, vf / x i dx i este Preț eu produs limitativ obținut suplimentar din dx i unități eu -a resursa... Cu toate acestea, costul unităților dx i ale primei resurse este egal cu р i dx i, adică se obține un echilibru: este posibil să se implice unități dx i suplimentare ale resursei i în cheltuieli р I dx i la achiziționarea sa, dar nu va exista niciun câștig, adică pentru că vom primi după procesarea produselor pentru exact aceeași sumă pe care am cheltuit-o. În consecință, punctul optim dat de relația (2.1) este un punct de echilibru - nu mai este posibil să se extragă mai mult din resursele de marfă decât s-a cheltuit pentru achiziționarea lor.

Evident, creșterea producției firmei a avut loc treptat: la început, costul produselor marginale era mai mic decât prețul de achiziție al resurselor de marfă necesare pentru producția lor. Creșterea volumelor de producție continuă până când relația (2.1) începe să fie îndeplinită: egalitatea valorii produselor marginale și a prețului de achiziție necesar pentru producția lor de mărfuri-resurse.

Să presupunem că în problema firmei W (X) = vf (X) - PX → max, X  0, soluția X * este unică pentru v> 0 și P> 0. Astfel, funcția vectorială X * = X * ( v, P), sau funcția x * I = x * i (v, p 1, pm) pentru i = 1, ..., m. Aceste funcții m se numesc funcții de cerere de resurse la prețuri date pentru produse și resurse. În esență, aceste funcții înseamnă că dacă se formează prețurile P pentru resurse și prețul v pentru bunurile produse, producătorul dat (caracterizat de această funcție de producție) determină cantitatea de resurse procesate prin funcțiile x * I = x * i ( v, p 1, pm) și solicită aceste volume pe piață. Cunoscând cantitatea de resurse procesate și substituindu-le în funcția de producție, obținem rezultate în funcție de prețuri; denotăm această funcție prin q * = q * (v, P) = f (X (v, P)) = Y *. Se numeste funcția de ofertă a produsuluiîn funcție de prețul v pentru produse și prețurile P pentru resurse.

Prioritar, resursă de tipul i numit de mică valoare, dacă și numai dacă,x * i / v adică, odată cu creșterea prețului produselor, cererea pentru o resursă de valoare mică scade. Este posibil să se demonstreze o relație importantă: q * / P = -X * / v sau q * / p i = -x * i / v, pentru i = 1, ..., m. În consecință, o creștere a prețului produselor duce la o creștere (scădere) a cererii pentru un anumit tip de resursă, dacă și numai dacă o creștere a plății pentru această resursă duce la o scădere (creștere) a producției optime. Aceasta arată proprietatea principală a resurselor cu valoare redusă: o creștere a plății pentru ei duce la o creștere a producției! Cu toate acestea, este posibil să se demonstreze riguros disponibilitatea unor astfel de resurse, o creștere a plății pentru care duce la o scădere a producției (adică toate resursele nu pot fi de mică valoare).

De asemenea, este posibil să se demonstreze că x * i / pi sunt reciproc complementare dacă x * i / pj sunt interschimbabile, dacă x * i / pj> 0. Adică, pentru resursele complementare, o creștere a prețul uneia dintre ele duce la scăderea cererii pentru altul, iar pentru resursele interschimbabile, o creștere a prețului unuia dintre ele duce la o creștere a cererii pentru celălalt. Exemple de resurse complementare: un computer și componentele sale, mobilier și lemn, șampon și balsam pentru acesta. Exemple de resurse fungibile: zahăr și înlocuitori ai zahărului (cum ar fi sorbitolul), pepeni verzi și pepeni, maioneză și smântână, unt și margarină etc.

Exemplul 2. Pentru o companie cu funcție de producție Y = 100K 1/2 L 1/3 (din exemplul 1), găsiți dimensiunea optimă dacă perioada de amortizare a mijloacelor fixe este N = 12 luni, salariul angajatului pe lună a = 1000 ruble.

Soluţie. Dimensiunea optimă a producției sau volumul producției se găsește din relația (2.1). În acest caz, producția este măsurată în termeni monetari, astfel încât v = 1. Costul întreținerii lunare a unei ruble de fonduri este 1 / N, adică obținem sistemul de ecuații

, rezolvând la care găsim răspunsul:
, L = 8. 10 3, K = 144. 10 6.

2.6. Sarcini

1. Fie funcția de producție să fie funcția Cobb-Douglas. Pentru a crește producția cu 1%, este necesar să crească mijloacele fixe cu b = 4% sau numărul de angajați cu c = 3%. În prezent, un angajat produce produse pe lună la M = 10 5 ruble . , și toți lucrătorii L = 10 4. Imobilizările sunt estimate la K = 10 6 ruble. Găsiți funcția de producție, productivitatea medie a capitalului, productivitatea medie a muncii, raportul capital-muncă.

2. Un grup de „comercianți de navetă” în valoare de E a decis să fuzioneze cu N vânzători. Profitul dintr-o zi de muncă (venituri minus cheltuielile, dar nu salariul) este exprimat prin formula Y = 600 (EN) 1/3. Salariul navetei este de 120 de ruble. pe zi, vânzătorul - 80 de ruble. într-o zi. Găsiți compoziția optimă a grupului de „navete” și vânzători, adică câte „navete” ar trebui să existe și câți vânzători.

3. Un om de afaceri a decis să înființeze o mică companie de camioane. După examinarea statisticilor, a văzut că dependența aproximativă a câștigurilor zilnice de numărul de mașini A și de numărul N este exprimată prin formula Y = 900A 1/2 N 1/4. Amortizarea și alte cheltuieli zilnice pentru o mașină sunt egale cu 400 de ruble, salariul zilnic al unui lucrător este de 100 de ruble. Găsiți numărul optim de lucrători și vehicule.

4. Omul de afaceri intenționează să deschidă un bar de bere. Să presupunem că dependența de venituri Y (minus costul berii și gustărilor) de numărul de mese M și numărul de chelneri F este exprimată prin formula Y = 200M 2/3 F 1/4. Costul unei mese este de 50 de ruble, salariul unui chelner este de 100 de ruble. Găsiți dimensiunea optimă a barei, adică numărul de chelneri și mese.