Probabilitatea de încredere 95. Metode de analiză cantitativă: estimarea intervalelor de încredere. Testați capacitățile soluțiilor plătite

Interval de încredere - valorile limită ale mărimii statistice, care cu o probabilitate de încredere dată γ vor fi în acest interval cu un eșantion mai mare. Se notează ca P (θ - ε. În practică, probabilitatea de încredere γ este aleasă dintre valorile γ = 0,9, γ = 0,95, γ = 0,99 care sunt suficient de apropiate de unitate.

Scopul serviciului... Acest serviciu definește:

• interval de încredere pentru media generală, interval de încredere pentru varianță;
• intervalul de încredere pentru deviația standard, intervalul de încredere pentru fracția generală;

Soluția rezultată este salvată într-un fișier Word. Mai jos este o instrucțiune video despre cum să completați datele inițiale.

Exemplul nr. 1. La ferma colectivă, dintr-un efectiv total de 1000 de capete de oaie, 100 de oi au fost supuse la forfecare selectivă a controlului. Ca rezultat, a fost stabilită o forfecare medie a lânii de 4,2 kg pe oaie. Determinați cu o probabilitate de 0,99 eroarea rădăcină-medie-pătrat a eșantionului la determinarea forfecării medii a lânii la o oaie și limitele în care este închisă valoarea forfecării, dacă varianța este 2,5. Proba nu se repetă.
Exemplul nr. 2. 20 de eșantioane de produs „A” au fost preluate din lotul de produse importate la postul vamal de nord al Moscovei în ordinea eșantionării repetate aleatorii. Ca rezultat al verificării, a fost stabilit conținutul mediu de umiditate al produsului "A" din eșantion, care s-a dovedit a fi de 6% cu o abatere standard de 1%.
Determinați cu o probabilitate de 0,683 limitele conținutului mediu de umiditate al produsului din întregul lot de produse importate.
Exemplul nr. 3. Un sondaj realizat la 36 de studenți a arătat că numărul mediu de manuale în care au citit an academic, sa dovedit a fi egal cu 6. Presupunând că numărul de manuale citite de un student pe semestru are o lege de distribuție normală cu o abatere standard egală cu 6, găsiți: A) cu o fiabilitate de 0,99 o estimare de interval pentru așteptarea matematică a acestei variabile aleatorii; B) cât de probabil este să afirmați că numărul mediu de manuale citite de un student pe semestru, calculat pentru acest eșantion, se va abate de la așteptările matematice în valoare absolută cu cel mult 2.

Clasificarea intervalului de încredere

După tipul parametrului evaluat:

După tipul de eșantion:

1. Interval de încredere pentru eșantion infinit;
2. Interval de încredere pentru proba finală;

Eșantionarea se numește eșantionare. dacă obiectul selectat este returnat populației înainte de a-l alege pe următorul. Eșantionul se numește non-repetitiv dacă obiectul selectat nu este returnat populației generale. În practică, unul se ocupă de obicei de eșantioane care nu se reproduc.

Calculul erorii medii de eșantionare pentru eșantionarea aleatorie

Se numește discrepanța dintre valorile indicatorilor obținuți din eșantion și parametrii corespunzători ai populației generale eroare de reprezentativitate.
Desemnarea parametrilor principali ai populației generale și a eșantionului.

Formule medii de eroare de eșantionare
re-selectare		selecție fără repetare
pentru mijloc	pentru partajare	pentru mijloc	pentru partajare

Raportul dintre limita de eroare de eșantionare (Δ) garantată cu o anumită probabilitate P (t), iar eroarea medie de eșantionare are forma: sau Δ = t μ, unde t- coeficientul de încredere, determinat în funcție de nivelul de probabilitate P (t) conform tabelului funcției integrale Laplace.

Formule pentru calcularea dimensiunii eșantionului cu o metodă de selecție aleatorie adecvată

Metoda de selecție	Formule de mărime a eșantionului
	pentru mijloc	pentru partajare
Repetat
Irepetabil

Puteți găsi dimensiunea eșantionului folosind un calculator.

Metoda intervalului de încredere

Algoritmul pentru găsirea intervalului de încredere include următorii pași:

1. este stabilită probabilitatea de încredere γ (fiabilitate).
2. eșantionul este utilizat pentru a determina estimarea parametrului a.
3. intervalul de încredere (a - ε; a + ε) se calculează din relația P (α 1).

Exemplul nr. 1. La verificarea adecvării unui lot de tablete (250 buc.), Sa dovedit că greutatea medie a unei tablete este de 0,3 g, iar abaterea standard a greutății este de 0,01 g. Găsiți intervalul de încredere în care norma greutatea tabletei scade cu o probabilitate de 90%.
Soluţie.

Un exemplu. Din rezultatele unei probe de observație (eșantionul B din anexă), calculați estimări imparțiale ale mediei, varianței și abaterii standard a populației.
Descărcați soluția

Un exemplu. Găsiți intervalele de încredere pentru estimarea abaterii medii și standard a populațiilor la un nivel de încredere de y, dacă B și y sunt eșantionate din populații.
Descărcați soluția

Un exemplu.

1. Folosind rezultatele calculelor efectuate în sarcina nr. 2 și presupunând că aceste date au fost obținute folosind o selecție aleatorie de 10% nerepetabilă, determinați:
a) limitele peste care, cu un nivel de încredere de 0,954, valoarea medie a caracteristicii, calculată pentru populația generală, nu va depăși;
b) cum se modifică dimensiunea eșantionului pentru a reduce eroarea marginală a mediei cu 50%.
2. Folosind rezultatele calculelor efectuate în sarcina nr. 2 și presupunând că aceste date au fost obținute folosind eșantionări repetate, determinați:
a) limitele, dincolo de care valoarea ponderii întreprinderilor în care valorile individuale ale trăsăturii depășesc moda cu un nivel de încredere de 0,954 nu vor depăși în populația generală;
b) cum se modifică dimensiunea eșantionului pentru a reduce eroarea marginală a proporției cu 20%.
Instrucțiuni metodice

Sarcina... Linia de producție pentru producerea aceluiași tip de piese a fost supusă reconstrucției.Sunt stabilite două probe care reflectă procentul de deșeuri în loturi de piese produse pe această linie înainte și după reconstrucție.

Un exemplu. Mai jos sunt date despre costurile de foraj (c.u.) pentru 49 de puțuri ale bazei petroliere vest-siberiene a Rusiei:

129	142	132	61	96	96	142	17	135	32
77	58	37	132	79	15	145	64	83	120
11	54	48	100	43	25	67	25	140	130
48	124	29	107	135	101	93	147	112	121
89	97	60	84	46	139	43	145	29

Pentru a estima costul forajului unei noi fântâni:

1. a face o probă într-un mod aleatoriu adecvat cu un volum de n = 5;
2. determinați valorile intervalului mediei populației generale (X) în funcție de indicatorii eșantionului calculați (X, s 2) utilizând funcția de distribuție t a lui Student la nivelul de semnificație α = 0,05;
3. determinați valoarea punctuală a mediei populației generale (X) conform datelor inițiale;
4. evaluați acuratețea calculelor intervalelor prin compararea valorii punctului (X) cu valoarea intervalului calculată din eșantion;

Soluţie efectuăm cu ajutorul acestui calculator:

1. Selectați 5 valori din tabel. Să fie coloana 3: 132, 37, 48, 29, 60.
În capitol „Vizualizarea seriei statistice” alege o serie discretă. În câmpul Număr de linii, specificați 5.

2. Introduceți datele inițiale.

În câmpul Număr de grupuri, selectați elementul „ nu grupa».

În câmpul „Interval de încredere al mediei generale, varianței și abaterii standard”, specificați valoarea γ = 0,95 (care corespunde α = 0,05).

În câmpul „Eșantion”, specificați valoarea 10 (deoarece au fost selectate 5 din 49 de valori, care corespunde cu 10,2% (5 / 49x100%)).

În capitol „Rezultate de raportat” marcăm primul articol „Interval de încredere pentru media generală”.

3. Soluția rezultată este salvată în format Word (descărcare).
Înainte de calcule, se creează un tabel preliminar în care este numărat numărul de repetări ale valorilor X.

X	(x - x medie) 2
29	1036.84
37	585.64
48	174.24
60	1.44
132	5012.64
306	6810.8

În acest caz, toate valorile X apar exact o dată. Valorile intervalului mediei populației generale sunt calculate în secțiunea " Estimarea pe intervale a centrului populației generale ".
Notă: în acest caz, se utilizează calculele Estimarea abaterii standard.

Sarcina numărul 2: Pentru a studia timpul petrecut la fabricarea unei părți de către lucrătorii uzinei, a fost efectuată o eșantionare aleatorie non-repetitivă de 10%, în urma căreia s-a obținut distribuția pieselor în timp, prezentată în Anexa . B.
Pe baza acestor date, calculați:
a) timpul mediu petrecut la fabricarea unei părți;
b) pătratul mediu al abaterilor (varianței) și al abaterii standard;
c) coeficientul de variație;
d) cu o probabilitate de 0,954, eroarea marginală a mediei eșantionului și limitele posibile în care se așteaptă timpul mediu petrecut la fabricarea unei părți la uzină;
e) cu o probabilitate de 0,954, eroarea marginală a ratei de eșantionare și a limitei gravitație specifică numărul de piese cu un timp minim pentru fabricarea lor. Înainte de a face calcule, este necesar să scrieți condițiile problemei și să completați tabelul. 2.1

Soluţie.
Pentru a obține o soluție, indicăm următorii parametri:

• Tipul seriei statistice: se setează o serie discretă;
• Numărul de grupuri: nu grupați;
• Pentru a construi intervalul de încredere pentru media generală, varianța și abaterea standard: y = 0,954;
• Pentru a construi intervalul de încredere pentru cota generală: y = 0,954;
• Eșantion: 10;
• Raport: interval de încredere pentru media generală, interval de încredere pentru ponderea generală;

Sarcina numărul 3: Folosind rezultatele calculelor efectuate în sarcina nr. 2 și presupunând că aceste date au fost obținute folosind eșantionări repetate, determinați:

b) cum se modifică dimensiunea eșantionului pentru a reduce eroarea fracției marginale cu 20%.

Soluţie.
Folosind rezultatele calculelor efectuate în sarcina nr. 2 și presupunând că aceste date au fost obținute folosind eșantionări repetate, determinați:
a) limitele peste care valoarea ponderii întreprinderilor în care valorile individuale ale trăsăturii depășesc modul în populația generală nu vor depăși cu un nivel de încredere de 0,954;
b) cum se modifică dimensiunea eșantionului pentru a reduce eroarea fracției marginale cu 20%.

Sarcina numărul 4: O probă aleatorie non-repetitivă de 20% a fost prelevată dintr-un lot de becuri pentru a determina greutatea medie a bobinei. Rezultatele eșantionării sunt după cum urmează. Greutate, mg: 38-40; 40-42; 42-44; 44-46. Număr de spirale: 15; 30; 45; 10. Determinați cu o probabilitate de 0,95 limitele de încredere, în care se află greutatea medie a bobinei, pentru întregul lot de becuri.

Soluţie.
Introduceți următorii parametri:

• Tipul seriei statistice: este specificată o serie de intervale;
• Pentru a construi intervalul de încredere pentru media generală, varianța și abaterea standard: y = 0,95;
• Mostră: 20;
• Raport: interval de încredere pentru media generală.

Sarcina numărul 5: La fabrica de lămpi electrice dintr-un lot de produse în valoare de 16.000 buc. lămpi luate pentru un eșantion de 1600 buc. (selecție aleatorie, nerepetabilă), din care 40 buc. s-a dovedit a fi defect. Determinați cu o probabilitate de 0,997 limitele în care procentul de respingeri va fi pentru întregul lot de produse.

Soluţie.
Aici N = 16000, n = 1600, w = d / n = 40/1600 = 0,025.

Se numește probabilitatea ca valoarea reală a mărimii măsurate să se afle într-un anumit interval nivel de încredere , sau factor de securitate, și intervalul în sine - interval de încredere.

Fiecare nivel de încredere are propriul interval de încredere. În special, un interval de încredere de 0,67 corespunde unui interval de încredere de la până la. Cu toate acestea, această afirmație este valabilă doar pentru un număr suficient de mare de măsurători (mai mult de 10), iar probabilitatea de 0,67 nu pare să fie suficient de fiabilă - în aproximativ fiecare dintre cele trei serii de măsurători y poate fi în afara intervalului de încredere. A primi mai multă încredere faptul că valoarea mărimii măsurate se află în intervalul de încredere, de obicei stabilit de probabilitatea de încredere 0,95 - 0,99. Interval de încredere pentru o probabilitate de încredere dată, luând în considerare influența numărului de măsurători n poate fi găsit prin înmulțirea abaterii standard a mediei aritmetice

.

prin așa-numitul coeficient Student. Coeficienții elevului pentru un număr de valori și n sunt date în tabel.

Tabel - Coeficienții elevilor

Numărul de măsurători n	Probabilitate de încredere y
0,67	0,90	0,95	0,99
	2,0	6,3	12,7	63,7
	1,3	2,4	3,2	5,8
	1,2	2,1	2,8	4,6
	1,2	2,0	2,6	4,0
	1,1	1,8	2,3	3,3
	1,0	1,7	2,0	2,6

În cele din urmă, pentru cantitatea măsurată y la un anumit nivel de încredere y și numărul de măsurători n se obține condiția

Vom apela cantitatea eroare aleatorie magnitudini y.

Exemplu: vezi prelegerea # 5 - o serie de numere.

Noi definim

Cu numărul de măsurători - 45 și nivelul de încredere - 0,95, obținem că coeficientul studentului este aproximativ egal cu 2,15. Atunci intervalul de încredere pentru această serie de măsurători este de 62,6.

Misses (eroare gravă) - erori grave asociate cu erori ale operatorului sau care nu sunt contabilizate pentru influențe externe. Acestea sunt de obicei excluse din rezultatele măsurătorilor. Rătăcirile sunt de obicei cauzate de neglijență. Ele pot apărea și din cauza unei defecțiuni a dispozitivului.

Estimarea intervalelor de încredere

Obiective de invatare

Statistica ia în considerare următoarele două sarcini principale:

Avem o estimare bazată pe datele eșantionului și dorim să facem o afirmație probabilistică despre locul în care este adevărata valoare a parametrului estimat.

Avem o ipoteză specifică care trebuie testată pe baza eșantionului de date.

În acest subiect, luăm în considerare prima sarcină. Introducem și definiția intervalului de încredere.

Intervalul de încredere este un interval care este construit în jurul valorii parametrului estimat și arată unde se află valoarea reală a parametrului estimat cu o probabilitate dată a priori.

După ce ați studiat materialul pe această temă, voi:

aflați care este intervalul de încredere al estimării;

învățați să clasificați sarcinile statistice;

stăpânește tehnica de construire a intervalelor de încredere, atât conform formulelor statistice, cât și utilizând instrumentele software;

învățați cum să determinați dimensiunile eșantionului necesare pentru a atinge anumiți parametri ai preciziei estimărilor statistice.

Distribuțiile caracteristicilor eșantionului

Distribuție T

După cum sa discutat mai sus, distribuția variabilei aleatoare este apropiată de distribuția normală normalizată cu parametrii 0 și 1. Deoarece nu cunoaștem valoarea lui σ, o înlocuim cu o estimare s. Cantitatea are deja o distribuție diferită, și anume sau Distribuția t studentului, care este determinat de parametrul n -1 (numărul de grade de libertate). Această distribuție este apropiată de distribuția normală (cu cât este mai mare n, cu atât distribuțiile sunt mai apropiate).

În fig. 95
este prezentată distribuția Studentului cu 30 de grade de libertate. După cum puteți vedea, este foarte aproape de distribuția normală.

În mod similar cu funcțiile pentru lucrul cu distribuția normală NORMDIST și NORMINV, există funcții pentru lucrul cu distribuția t - TDIST și TINV... Un exemplu de utilizare a acestor funcții poate fi găsit în fișierul TDIST.XLS (șablon și soluție) și în Fig. 96
.

Distribuții ale altor caracteristici

După cum știm deja, pentru a determina acuratețea estimării așteptării matematice, avem nevoie de distribuția t. Pentru a estima alți parametri, cum ar fi varianța, sunt necesare distribuții diferite. Două dintre ele sunt distribuția F și x 2 -distribuire.

Interval de încredere pentru medie

Interval de încredere este un interval care este construit în jurul valorii parametrului estimat și arată unde se află valoarea reală a parametrului estimat cu o probabilitate dată a priori.

Se produce construcția intervalului de încredere pentru medie în felul următor:

Exemplu

Restaurantul fast-food intenționează să-și extindă sortimentul cu un nou tip de sandwich. Pentru a evalua cererea pentru acesta, managerul intenționează să selecteze aleator 40 de vizitatori dintre cei care l-au încercat deja și îi invită să își evalueze atitudinea față de noul produs în puncte de la 1 la 10. Managerul dorește să estimeze numărul așteptat de puncte care vor primi Produs nouși construiți un interval de încredere de 95% pentru această estimare. Cum se poate face acest lucru? (vezi fișierul SANDWICH1.XLS (șablon și soluție).

Soluţie

Pentru a rezolva această problemă, puteți utiliza. Rezultatele sunt prezentate în Fig. 97
.

Interval de încredere pentru valoarea cumulativă

Uneori, pe baza eșantionului de date, este necesar să se estimeze nu așteptările matematice, ci suma totală a valorilor. De exemplu, într-o situație cu un auditor, este posibil să nu fie interesant să se estimeze valoarea medie a unui cont, ci suma tuturor conturilor.

Să fie N valoare totală elemente, n este dimensiunea eșantionului, T 3 este suma valorilor din eșantion, T "este estimarea pentru suma pe întreaga populație, apoi , iar intervalul de încredere este calculat prin formula, unde s este estimarea deviației standard pentru eșantion, este estimarea mediei pentru eșantion.

Exemplu

Să presupunem că un birou fiscal vrea să estimeze rambursările totale ale impozitelor pentru 10.000 de contribuabili. Contribuabilul fie primește o rambursare, fie plătește impozite suplimentare. Găsiți intervalul de încredere de 95% pentru suma rambursată, presupunând că dimensiunea eșantionului este de 500 de persoane (consultați SUMA DE RETURĂRI.XLS (șablon și soluție).

Soluţie

Nu există o procedură specială în StatPro pentru acest caz, cu toate acestea, puteți vedea că limitele pot fi obținute din limitele pentru medie pe baza formulelor de mai sus (Fig. 98
).

Interval de încredere pentru proporție

Fie p așteptarea matematică a ponderii clienților și p în estimarea acestei cote obținută dintr-un eșantion de mărime n. Se poate demonstra că pentru suficient de mare distribuția estimării va fi aproape de normal cu media p și deviația standard ... În acest caz, eroarea standard a estimării este exprimată ca , și intervalul de încredere ca .

Exemplu

Restaurantul de fast-food intenționează să-și extindă sortimentul cu un nou tip de sandwich. Pentru a estima cererea pentru aceasta, managerul a selectat aleator 40 de vizitatori dintre cei care l-au încercat deja și i-a invitat să își evalueze atitudinea față de noul produs în puncte de la 1 la 10. Managerul dorește să estimeze cota așteptată de clienți care evaluează noul produs cu cel puțin 6 puncte (se așteaptă ca acești clienți să fie consumatorii noului produs).

Soluţie

Inițial, creăm o nouă coloană bazată pe atributul 1 dacă scorul clientului a fost mai mare de 6 puncte și 0 în caz contrar (consultați fișierul SANDWICH2.XLS (șablon și soluție).

Metoda 1

Numărând numărul 1, estimăm cota, apoi folosim formulele.

Valoarea z cr este preluată din tabele speciale ale distribuției normale (de exemplu, 1,96 pentru intervalul de încredere de 95%).

Folosind această abordare și date specifice pentru a construi intervalul de 95%, obținem următoarele rezultate (Fig. 99
). Valoarea critică a parametrului z cr este 1,96. Eroarea standard a estimării este 0,077. Limita inferioară a intervalului de încredere este de 0,475. Limita superioară a intervalului de încredere este de 0,775. Astfel, managerul are dreptul să presupună cu 95% încredere că procentul de clienți care au evaluat noul produs 6 sau mai mare va fi între 47,5 și 77,5.

Metoda 2

Această sarcină poate fi rezolvată folosind instrumentele standard StatPro. Pentru a face acest lucru, este suficient să rețineți că ponderea în acest caz coincide cu valoarea medie a coloanei Tip. În continuare, să aplicăm StatPro / Inferință statistică / Analiza unui singur eșantion pentru a construi intervalul de încredere al mediei (estimarea valorii așteptate) pentru coloana Tip. Rezultatul obținut în acest caz va fi foarte apropiat de rezultatul primei metode (Fig. 99).

Interval de încredere pentru deviația standard

Ca estimare a abaterii standard, se utilizează s (formula este dată în secțiunea 1). Funcția densității estimării s este funcția chi-pătrat, care, la fel ca distribuția t, are n-1 grade de libertate. Există funcții speciale pentru lucrul cu această distribuție CHIDIST și CHIINV.

Intervalul de încredere în acest caz nu va mai fi simetric. O diagramă schematică a limitelor este prezentată în Fig. 100.

Exemplu

Mașina trebuie să producă piese cu un diametru de 10 cm. Totuși, din diverse circumstanțe, apar erori. Inspectorul calității este preocupat de două lucruri: în primul rând, media ar trebui să fie de 10 cm; în al doilea rând, chiar și în acest caz, dacă abaterile sunt mari, atunci multe părți vor fi respinse. În fiecare zi face un eșantion de 50 de părți (vezi fișierul CONTROL DE CALITATE.XLS (șablon și soluție). Ce concluzii poate da un astfel de eșantion?

Soluţie

Graficați intervalele de încredere de 95% pentru media și deviația standard folosind StatPro / inferență statistică / analiză cu un singur eșantion(fig. 101
).

Mai mult, folosind presupunerea unei distribuții normale a diametrelor, calculăm proporția produselor defecte, stabilind o abatere maximă de 0,065. Folosind capacitățile tabelului de substituție (cazul a doi parametri), construim dependența ratei de căsătorie de valoarea medie și abaterea standard (Fig. 102
).

Interval de încredere pentru diferența dintre două mijloace

Aceasta este una dintre cele mai importante aplicații metode statistice... Exemple de situații.

Un manager de magazin de îmbrăcăminte ar dori să știe cât de mult cheltuiește mai mult sau mai puțin o femeie cumpărătoare medie într-un magazin decât un bărbat.

Cele două companii aeriene zboară rute similare. Organizația consumatorilor ar dori să compare diferența dintre întârzierile medii de zbor preconizate pentru ambele companii aeriene.

Compania trimite cupoane pentru anumite tipuri bunuri într-un oraș și nu trimite în altul. Managerii doresc să compare volumul mediu de achiziții al acestor articole în următoarele două luni.

Dealerul auto se ocupă adesea de cupluri căsătorite la prezentări. Cuplurile sunt adesea intervievate separat pentru a-și înțelege reacțiile personale la o prezentare. Managerul dorește să evalueze diferența de rating raportată de bărbați și femei.

Caz de probe independente

Diferența dintre medii va avea o distribuție t cu n 1 + n 2 - 2 grade de libertate. Intervalul de încredere pentru μ 1 - μ 2 este exprimat prin raportul:

Această sarcină poate fi rezolvată nu numai prin formulele de mai sus, ci și prin instrumentele standard StatPro. Pentru a face acest lucru, este suficient să aplicați

Interval de încredere pentru diferența dintre proporții

Fie așteptarea matematică a acțiunilor. Fie estimările lor de eșantion construite din eșantioane de dimensiunea n 1 și respectiv n 2. Atunci este estimarea diferenței. Prin urmare, intervalul de încredere pentru această diferență este exprimat ca:

Aici z cr este valoarea obținută din distribuția normală conform tabelelor speciale (de exemplu, 1,96 pentru intervalul de încredere de 95%).

Eroarea standard a estimării este exprimată în acest caz prin raportul:

.

Exemplu

Magazinul, în pregătirea pentru marea vânzare, a întreprins următoarele cercetare de piata... Primii 300 de cumpărători au fost selectați și împărțiți aleatoriu în două grupuri de câte 150 de membri fiecare. Toți cumpărătorii selectați au primit invitații pentru a participa la vânzare, dar numai membrii primului grup au fost însoțiți de un cupon care le dădea dreptul la o reducere de 5%. În timpul vânzării, au fost înregistrate achizițiile tuturor celor 300 de cumpărători selectați. Cum poate un manager să interpreteze rezultatele și să concluzioneze asupra eficienței livrării cupoanelor? (vezi fișierul COUPONS.XLS (șablon și soluție)).

Soluţie

Pentru cazul nostru particular, din 150 de cumpărători care au primit un cupon de reducere, 55 au făcut o achiziție la o vânzare, iar dintre 150 care nu au primit un cupon, doar 35 au cumpărat (Fig. 103
). Apoi, valorile proporțiilor eșantionului sunt de 0,3667 și respectiv 0,2333. Și diferența eșantionului dintre ele este egală cu 0,1333, respectiv. Presupunând că intervalul de încredere este de 95%, găsim z cr = 1,96 din tabelul de distribuție normal. Calculul erorii standard a diferenței eșantionate este 0,0524. În cele din urmă, obținem că limita inferioară a intervalului de încredere de 95% este 0,0307, ​​iar limita superioară este de 0,2359, respectiv. Rezultatele pot fi interpretate în sensul că pentru fiecare 100 de clienți care primesc un cupon de reducere, vă puteți aștepta de la 3 la 23 de clienți noi. Cu toate acestea, trebuie avut în vedere faptul că această concluzie în sine nu înseamnă eficiența utilizării cupoanelor (deoarece, oferind o reducere, pierdem din profit!). Să demonstrăm acest lucru cu date specifice. Să presupunem că dimensiunea medie de cumpărare este de 400 de ruble, dintre care 50 de ruble. există un profit al magazinului. Atunci profitul așteptat la 100 de cumpărători care nu au primit cuponul este:

50 0,2333 100 = 1166,50 ruble.

Calcule similare pentru 100 de cumpărători care au primit cuponul dau:

30 0,3667 100 = 1100,10 ruble.

Scăderea profitului mediu la 30 se datorează faptului că, utilizând reducerea, clienții care au primit cuponul vor efectua, în medie, o achiziție pentru 380 de ruble.

Astfel, concluzia finală vorbește despre ineficiența utilizării unor astfel de cupoane în această situație specială.

Cometariu. Această sarcină poate fi rezolvată folosind instrumentele standard StatPro. Pentru a face acest lucru, este suficient să reduceți această problemă la problema estimării diferenței de două mijloace prin metodă și apoi să aplicați StatPro / inferență statistică / analiză cu două eșantioane pentru a construi un interval de încredere pentru diferența dintre două valori medii.

Controlul lungimii intervalului de încredere

Lungimea intervalului de încredere depinde de următoarele condiții:

date directe (deviație standard);

nivel de semnificație;

marime de mostra.

Mărimea eșantionului pentru estimarea mediei

În primul rând, luați în considerare problema în cazul general. Să desemnăm valoarea de jumătate din lungimea intervalului de încredere dat nouă ca B (Fig. 104
). Știm că intervalul de încredere pentru valoarea medie a unei variabile aleatoare X este exprimat ca , Unde ... Presupunând:

și exprimând n, obținem.

Din păcate, nu cunoaștem valoarea exactă a varianței variabilei aleatoare X. În plus, nu cunoaștem valoarea lui t cr, deoarece depinde de n prin numărul de grade de libertate. În această situație, putem proceda după cum urmează. În loc de varianță, folosim o estimare a varianței pe baza oricăror realizări disponibile ale variabilei aleatorii studiate. În loc de valoarea t cr, folosim valoarea z cr pentru distribuția normală. Acest lucru este destul de acceptabil, deoarece funcțiile densității de distribuție pentru distribuția normală și t sunt foarte apropiate (cu excepția cazului n mic). Astfel, formula căutată ia forma:

.

Deoarece formula oferă, în general vorbind, rezultate care nu sunt întregi, mărimea eșantionului necesar este considerată excesul de rotunjire al rezultatului.

Exemplu

Restaurantul de fast-food intenționează să-și extindă sortimentul cu un nou tip de sandwich. Pentru a evalua cererea pentru acesta, managerul intenționează să selecteze aleatoriu un anumit număr de vizitatori dintre cei care l-au încercat deja și îi invită să își evalueze atitudinea față de noul produs în puncte de la 1 la 10. Managerul dorește să estimează numărul așteptat de puncte pe care îl va primi noul produs și construiește un interval de încredere de 95% pentru această estimare. În același timp, vrea ca jumătate din lățimea intervalului de încredere să nu depășească 0,3. Câți vizitatori ar trebui să intervieveze?

după cum urmează:

Aici r ots este estimarea fracției p și B este jumătatea dată din lungimea intervalului de încredere. O valoare supraestimată pentru n poate fi obținută folosind valoarea r ots= 0,5. În acest caz, lungimea intervalului de încredere nu va depăși valoarea dată a lui B pentru orice valoare adevărată a lui p.

Exemplu

Lăsați managerul din exemplul precedent să planifice estimarea proporției clienților care au preferat un nou tip de produs. El vrea să construiască un interval de încredere de 90%, a cărui jumătate din lungime nu ar depăși 0,05. Câți clienți ar trebui incluși în eșantionul aleatoriu?

Soluţie

În cazul nostru, valoarea z cr = 1,645. Prin urmare, suma necesară este calculată ca .

Dacă managerul ar avea motive să creadă că valoarea dorită a lui p este, de exemplu, aproximativ 0,3, atunci, înlocuind această valoare în formula de mai sus, am obține o valoare mai mică a eșantionului aleator, și anume 228.

Formula pentru determinare mărimile probei aleatorii în caz de diferență între două mijloace scris ca:

.

Exemplu

niste compania de calculatoare are un centru de servicii pentru clienți. Recent, a crescut numărul de reclamații ale clienților cu privire la calitatea slabă a serviciilor. Centrul de servicii angajează în principal două tipuri de angajați: cei care nu au multă experiență, dar care au parcurs cursuri pregătitoare speciale și care au o experiență practică extinsă, dar care nu au parcurs cursuri speciale. Compania dorește să analizeze reclamațiile clienților din ultimele șase luni și să compare numărul mediu pentru fiecare dintre cele două grupuri de angajați. Se presupune că cantitățile din probe pentru ambele grupuri vor fi aceleași. Câți angajați ar trebui incluși în eșantion pentru a obține un interval de 95% cu o jumătate de lungime de cel mult 2?

Soluţie

Aici σ оц este o estimare a deviației standard a ambelor variabile aleatorii, presupunând că acestea sunt apropiate. Astfel, în sarcina noastră, trebuie să obținem cumva această estimare. Acest lucru se poate face, de exemplu, după cum urmează. După ce a analizat datele despre reclamațiile clienților din ultimele șase luni, managerul poate observa că, pentru fiecare angajat, există în principal de la 6 la 36 de reclamații. Știind că pentru o distribuție normală, aproape toate valorile sunt eliminate din medie cu cel mult trei abateri standard, el poate crede în mod rezonabil că:

, de unde σ оц = 5.

Înlocuind această valoare în formulă, obținem .

Formula pentru determinare mărimea eșantionului aleator în cazul estimării diferenței dintre acțiuni se pare ca:

Exemplu

O anumită companie are două fabrici care produc produse similare. Un manager de companie vrea să compare proporția produselor defecte din ambele fabrici. Conform informațiilor disponibile, rata de fier vechi la ambele fabrici este între 3 și 5%. Se presupune că va construi un interval de încredere de 99% cu jumătate din lungimea de cel mult 0,005 (sau 0,5%). Câte articole ar trebui luate din fiecare fabrică?

Soluţie

Aici p 1ots și p 2ots sunt estimări ale două rate necunoscute de deșeuri la prima și a doua fabrică. Dacă punem p 1ots = p 2ots = 0,5, atunci obținem o valoare supraestimată pentru n. Dar, deoarece în cazul nostru avem câteva informații a priori despre aceste acțiuni, luăm estimarea superioară a acestor acțiuni, și anume 0,05. Primim

Când unii parametri ai populației sunt estimate din datele eșantionului, este util să se dea nu numai o estimare punctuală a parametrului, ci și să se indice intervalul de încredere, care indică unde poate fi localizată valoarea exactă a parametrului estimat.

În acest capitol, ne-am familiarizat și cu rapoartele cantitative care ne permit să construim astfel de intervale pentru diverși parametri; a învățat cum să controleze durata intervalului de încredere.

Rețineți, de asemenea, că problema estimării mărimii eșantionului (problema planificării unui experiment) poate fi rezolvată folosind instrumentele standard StatPro, și anume StatPro / inferență statistică / selecție dimensiune eșantion.

În acest articol, veți afla:

Ce interval de încredere?

Care este esența 3 reguli sigma?

Cum pot fi aplicate aceste cunoștințe în practică?

În zilele noastre, datorită unei supraabundențe de informații asociate cu o gamă largă de bunuri, zone de vânzare, angajați, activități etc., poate fi dificil să evidențiați principalul, la ce, în primul rând, ar trebui să fii atent și să faci eforturi pentru a gestiona. Definiție interval de încredereși analiza depășirii limitelor sale de valori reale - o tehnică care vă ajută să evidențiați situații, influențând schimbarea tendințelor. Veți putea să dezvoltați factori pozitivi și să reduceți influența celor negativi. Această tehnologie folosit în multe companii din lume cunoscute.

Există așa-numitele „ alerte ", care informează managerii că următoarea valoare este într-o anumită direcție a trecut dincolo interval de încredere... Ce inseamna asta? Acesta este un semnal că a avut loc un eveniment non-standard, care, eventual, va schimba tendința existentă în această direcție. Acesta este semnalul la faptul pentru a-l da seamaîn situație și înțelegeți ce a influențat-o.

De exemplu, luați în considerare câteva situații. Am calculat prognoza vânzărilor cu limitele prognozate pentru 100 de articole de bază pentru 2011 pe luni și vânzările efective în martie:

1. Pentru „Uleiul de floarea-soarelui” au trecut de limita superioară a prognozei și nu au intrat în intervalul de încredere.
2. Pentru „Drojdie uscată” au trecut dincolo de limita inferioară a prognozei.
3. Pe „ovăzul de ovăz”, limita superioară a fost spartă.

Pentru restul mărfurilor, vânzările efective s-au încadrat în limitele de prognoză specificate. Acestea. vânzările lor au fost în concordanță cu așteptările. Așadar, am identificat 3 produse care au trecut dincolo de granițe și am început să ne dăm seama ce a influențat trecerea dincolo de granițe:

1. Pentru „Uleiul de floarea-soarelui” am intrat într-un nou rețea de tranzacționare, ceea ce ne-a oferit vânzări suplimentare, ceea ce a dus la trecerea peste granița superioară. Pentru acest produs, merită recalculat prognoza până la sfârșitul anului, ținând cont de prognoza vânzărilor către această rețea.
2. Potrivit „Drojdiei uscate”, mașina s-a blocat la vamă și a existat o penurie în 5 zile, care a afectat scăderea vânzărilor și depășirea frontierei inferioare. Ar putea fi util să vă dați seama care a fost motivul și să încercați să nu repetați această situație.
3. Un eveniment de promovare a vânzărilor a fost lansat pentru Oatmeal Porridge, care a dat o creștere semnificativă a vânzărilor și a dus la depășirea prognozei.

Am identificat 3 factori care au influențat depășirea limitelor prognozate. Pot fi mult mai multe dintre ele în viață. Pentru a îmbunătăți precizia prognozării și planificării, factorii care conduc la faptul că vânzările reale pot depăși limitele prognozei, merită evidențiat și construit previziunile și planurile pentru ele separat. . Și apoi ia în considerare impactul acestora asupra prognozei principale de vânzări. De asemenea, puteți evalua în mod regulat impactul acestor factori și puteți schimba situația în bine prin reducerea influenței negativului și creșterea influenței factorilor pozitivi.

Cu intervalul de încredere, putem:

1. Evidențiați direcțiile, la care merită să fii atent, tk. în aceste zone, au avut loc evenimente care pot afecta schimbarea tendinței.
2. Identificați factorii care afectează într-adevăr schimbarea situației.
3. A accepta decizie echilibrată(de exemplu, despre achiziții, planificare etc.).

Acum să ne uităm la ce este un interval de încredere și cum să-l calculăm în Excel folosind un exemplu.

Ce este un interval de încredere?

Intervalul de încredere este limitele prognozate (superioare și inferioare), în cadrul cărora cu o probabilitate dată (sigma) valorile efective vor fi incluse.

Acestea. calculăm prognoza - acesta este punctul nostru principal de referință, dar înțelegem că este puțin probabil ca valorile reale să fie egale cu 100% prognozele noastre. Și apare întrebarea, în ce limite pot fi incluse valorile reale, dacă tendința actuală continuă? Și această întrebare ne va ajuta să răspundem calculul intervalului de încredere, adică - limitele superioare și inferioare ale prognozei.

Ce este Sigma Target Probability?

La calcul interval de încredere putem setați probabilitatea lovind valorile efective în limitele de prognoză date... Cum să o facă? Pentru a face acest lucru, stabilim valoarea sigma și, dacă sigma este egală:

3 sigma- atunci, probabilitatea ca următoarea valoare reală să se încadreze în intervalul de încredere va fi de 99,7%, sau 300 la 1, sau există o probabilitate de 0,3% de a depăși limitele.

2 sigma- atunci probabilitatea de a atinge următoarea valoare în limite este de ≈ 95,5%, adică cotele sunt de aproximativ 20 la 1, sau există o șansă de 4,5% să ieșiți din limite.

1 sigma- atunci, probabilitatea este ≈ 68,3%, adică cotele sunt de aproximativ 2 la 1 sau există o șansă de 31,7% ca următoarea valoare să se încadreze în afara intervalului de încredere.

Am formulat Regula 3 sigma,care spune că probabilitatea lovirii următoarea valoare aleatorie în intervalul de încredere cu o valoare dată three sigma este 99,7%.

Marele matematician rus Chebyshev a demonstrat teorema că există o probabilitate de 10% de a depăși limitele prognozate cu o valoare dată de trei sigma. Acestea. probabilitatea de a se încadra în intervalul de încredere de 3 sigme va fi de cel puțin 90%, în timp ce o încercare de a calcula prognoza și limitele acesteia „prin ochi” este plină de erori mult mai semnificative.

Cum se calculează independent intervalul de încredere în Excel?

Să luăm în considerare calculul intervalului de încredere în Excel (adică limitele superioare și inferioare ale prognozei) folosind un exemplu. Avem o serie de timp - vânzări pe luni de peste 5 ani. Vezi fisierul atasat.

Pentru a calcula limitele prognozei, vom calcula:

1. Prognoza de vânzări().
2. Sigma - abaterea standard prognozează modele din valorile reale.
3. Trei sigme.
4. Interval de încredere.

1. Prognoza vânzărilor.

= (RC [-14] (date în serii de timp)- RC [-1] (valoarea modelului)) ^ 2 (pătrat)

3. Să rezumăm pentru fiecare lună valorile abaterilor de la etapa 8 Suma ((Xi-Ximod) ^ 2), adică rezumați ianuarie, februarie ... pentru fiecare an.

Pentru a face acest lucru, utilizați formula = SUMIF ()

SUMIF (o matrice cu numerele perioadelor din interiorul ciclului (pentru luni de la 1 la 12); referință la numărul perioadei din ciclu; referință la matrice cu pătratele diferenței dintre datele originale și valori Perioadelor)

4. Să calculăm abaterea standard pentru fiecare perioadă din ciclul de la 1 la 12 (etapa a 10-a în fișierul atașat).

Pentru a face acest lucru, din valoarea calculată în etapa 9, extragem rădăcina și împărțim la numărul de perioade din acest ciclu minus 1 = ROOT ((Suma (Xi-Ximod) ^ 2 / (n-1))

Să folosim formulele din Excel = ROOT (R8 (referință la (Sum (Xi-Ximod) ^ 2)/ (COUNTIF ($ O $ 8: $ O $ 67 (referință la matrice cu numere de ciclu); O8 (referință la un anumit număr de ciclu, care sunt numărate în matrice))-1))

Folosind formula Excel = COUNTIF numărăm numărul n

Calculând abaterea standard a datelor reale de la modelul prognozat, am obținut valoarea sigma pentru fiecare lună - etapa 10 în fișierul atașat.

3. Să calculăm 3 sigma.

În etapa a 11-a, stabilim numărul sigmei - în exemplul nostru, „3” (etapa a 11-a în fișierul atașat):

De asemenea, valorile sigme practice sunt:

1,64 sigma - 10% șanse de a depăși limita (1 șansă din 10);

1,96 sigma - 5% șanse de a ieși din limite (1 șansă din 20);

2,6 sigma - 1% șanse de a ieși din limite (1 șansă din 100).

5) Calculul a trei sigme, pentru aceasta înmulțim valorile „sigma” pentru fiecare lună cu „3”.

3. Determinați intervalul de încredere.

1. Limita superioară a prognozei- prognoza vânzărilor luând în considerare creșterea și sezonalitatea + (plus) 3 sigma;
2. Limita inferioară a prognozei- prognoza vânzărilor luând în considerare creșterea și sezonalitatea - (minus) 3 sigma;

Pentru comoditatea calculării intervalului de încredere pentru o perioadă lungă de timp (vezi fișierul atașat), vom folosi formula Excel = Y8 + VLOOKUP (W8; $ U $ 8: $ V $ 19; 2; 0), Unde

Y8- Prognoza de vânzări;

W8- numărul lunii pentru care vom lua valoarea 3-sigma;

Acestea. Limita superioară a prognozei= "Prognoza vânzărilor" + "3 sigma" (în exemplu, VLOOKUP (numărul lunii; tabelul cu 3 valori sigma; coloana din care extragem valoarea sigma egală cu numărul lunii din rândul corespunzător; 0)).

Limita inferioară a prognozei= "Prognoza vânzărilor" minus "3 sigma".

Deci, am calculat intervalul de încredere în Excel.

Acum avem o prognoză și un interval cu limite în care valorile reale vor cădea cu o probabilitate dată de sigma.

În acest articol, am analizat ce sunt sigma și regula celor trei sigme, cum se determină intervalul de încredere și de ce puteți utiliza această tehnică în practică.

Previziuni exacte și succes!

Cum Forecast4AC PRO vă poate ajutala calcularea intervalului de încredere?:

Forecast4AC PRO va calcula automat limitele superioare sau inferioare ale prognozei pentru mai mult de 1000 de serii de timp în același timp;

Abilitatea de a analiza limitele prognozei în comparație cu prognoza, tendința și vânzările reale din grafic cu o singură apăsare de tastă;

Programul Forcast4AC PRO are capacitatea de a seta o valoare sigma de la 1 la 3.

Alăturați-ne!

Descărcați aplicații gratuite de prognoză și analiză de afaceri:

• Novo Forecast Lite- automat calculul prognozeiîn excela.
• 4analitici - Analiza ABC-XYZși analiza emisiilor în Excela.
• Qlik Sense Desktop și QlikViewPersonal Edition - sisteme BI pentru analiza și vizualizarea datelor.

Testați capacitățile soluțiilor plătite:

• Novo Forecast PRO- prognoză în Excel pentru seturi mari de date.

Ultima actualizare: 3 martie 2020

Exemplu de fișier

Să construim în MS EXCEL un interval de încredere pentru a estima valoarea medie a distribuției în cazul unei valori cunoscute a varianței.

Desigur alegerea nivelul de încredere depinde complet de problema rezolvată. Astfel, gradul de încredere al pasagerului aerian în fiabilitatea aeronavei, fără îndoială, ar trebui să fie mai mare decât gradul de încredere al cumpărătorului în fiabilitatea becului.

Afirmarea problemei

Să presupunem că din populația generală luând probă marimea n. Se presupune că deviație standard această distribuție este cunoscută. Este necesar pe baza acestui lucru prelevarea de probe evaluează necunoscutul distribuție medie(μ,) și construiți corespunzător bilateralăinterval de încredere .

Estimare punctuală

După cum se știe din, statistici(o denotăm X Miercuri) este un estimare imparțială a mediei acest populația generalăși are distribuția N (μ; σ 2 / n).

Notă : Ce trebuie să faceți dacă trebuie să construiți interval de încredereîn cazul unei distribuții care nu estenormal?În acest caz, vine vorba de salvare, care spune că, cu o dimensiune suficient de mare prelevarea de probe n din distribuție a nu finormal , distribuirea eșantionului de statistici X av va fi aproximativ corespunde distributie normala cu parametrii N (μ; σ 2 / n).

Asa de, estimare punctualămijlocvalorile distribuției avem - asta proba medie, adică X Miercuri... Acum să trecem la interval de încredere.

Trasarea unui interval de încredere

De obicei, cunoscând distribuția și parametrii săi, putem calcula probabilitatea ca variabila aleatoare să ia o valoare din intervalul specificat de noi. Acum să facem opusul: găsiți intervalul în care variabila aleatorie va cădea cu o probabilitate dată. De exemplu, din proprietăți distributie normala se știe că, cu o probabilitate de 95%, o variabilă aleatorie distribuită peste lege normala, se va încadra într-un interval de aproximativ +/- 2 din Valoarea medie(vezi articolul despre). Acest interval ne va servi drept prototip interval de încredere .

Acum să ne dăm seama dacă știm distribuția , pentru a calcula acest interval? Pentru a răspunde la întrebare, trebuie să indicăm forma distribuției și parametrii acesteia.

Știm forma de distribuție - este distributie normala(reamintesc că este vorba O distribuția eșantionuluistatisticiX Miercuri).

Nu cunoaștem parametrul μ (trebuie doar estimat folosind interval de încredere), dar avem estimarea lui X Miercuri, calculat pe baza eșantionare, care poate fi folosit.

Al doilea parametru este deviația standard a probei mediio vom considera cunoscută, este egal cu σ / √n.

pentru că nu știm μ, atunci vom construi intervalul +/- 2 abateri standard nu din Valoarea medie, și din estimarea sa cunoscută X Miercuri... Acestea. la calcul interval de încredere NU vom presupune că X Miercuri se încadrează în intervalul +/- 2 abateri standard de la μ cu o probabilitate de 95% și vom presupune că intervalul +/- 2 abateri standard din X Miercuri cu o probabilitate de 95% va acoperi μ - media populației generale, din care se ia probă... Aceste două afirmații sunt echivalente, dar a doua afirmație ne permite să construim interval de încredere .

În plus, să rafinăm intervalul: o variabilă aleatorie distribuită peste lege normala, cu o probabilitate de 95% se încadrează în intervalul +/- 1.960 abateri standard, nu +/- 2 abateri standard... Acest lucru poate fi calculat folosind formula = NORM.ST.OBR ((1 + 0,95) / 2), cm. exemplu fișier Spațiere foaie .

Acum putem formula o afirmație probabilistică care ne va servi pentru a forma interval de încredere: „Probabilitatea ca. media populației este de la eșantion mediuîn termen de 1.960 " abaterile standard ale eșantionului înseamnă ", este egal cu 95% ".

Valoarea probabilității menționată în declarație are un nume special care este asociat cu nivelul de semnificație α (alfa) printr-o expresie simplă nivel de încredere = 1 -α . În cazul nostru nivel de semnificație α =1-0,95=0,05 .

Acum, pe baza acestei afirmații probabilistice, notăm o expresie pentru calcul interval de încredere :

unde Z α / 2 – standarddistributie normala(o astfel de valoare a variabilei aleatoare z , ce P (z >= Z a / 2 ) = α / 2).

Notă : Α / 2-cuantilă superioară determină lățimea interval de încredereîn abateri standardproba medie. Α / 2-cuantilă superioară standarddistributie normalaîntotdeauna mai mare decât 0, ceea ce este foarte convenabil.

În cazul nostru, la α = 0,05, α / 2-cuantilă superioară este egal cu 1.960. Pentru alte niveluri de semnificație α (10%; 1%) α / 2-cuantilă superioarăZ a / 2 poate fi calculat folosind formula = ST.OBR STANDARD (1-α / 2) sau dacă este cunoscut nivel de încredere , = NORM.ST.OBR ((1 + nivel de încredere) / 2) .

De obicei la construirea intervale de încredere pentru estimarea mediei folosiți numai α superioară /2- cuantilși nu folosiți α inferior /2- cuantil... Acest lucru este posibil pentru că standarddistributie normala simetric în jurul axei x ( densitatea sa de distribuție simetric în raport cu medie, adică 0) . Prin urmare, nu este necesar să se calculeze α / 2-cuantilă mai mică(se numește pur și simplu α / 2-cuantil), deoarece este egal α superioară /2- cuantil cu un semn minus.

Amintiți-vă că, în ciuda formei distribuției cantității x, variabila aleatorie corespunzătoare X Miercuri distribuit aproximativamenda N (μ; σ 2 / n) (vezi articolul despre). Prin urmare, în cazul general, expresia de mai sus pentru interval de încredere este doar aproximativ. Dacă cantitatea x este distribuită peste lege normala N (μ; σ 2 / n), apoi expresia pentru interval de încredere este corectă.

Calculul intervalului de încredere în MS EXCEL

Să rezolvăm problema. Timpul de răspuns al unei componente electronice la un semnal de intrare este o caracteristică importantă a dispozitivului. Inginerul dorește să stabilească un interval de încredere pentru timpul mediu de răspuns la un nivel de încredere de 95%. Inginerul știe din experiența anterioară că abaterea standard a timpului de răspuns este de 8 ms. Se știe că inginerul a făcut 25 de măsurători pentru a estima timpul de răspuns, valoarea medie a fost de 78 ms.

Soluţie: Inginerul vrea să știe timpul de răspuns dispozitiv electronic, dar el înțelege că timpul de răspuns nu este o variabilă fixă, ci o variabilă aleatorie care are propria distribuție. Deci, cel mai bun pe care se poate baza este să determine parametrii și forma acestei distribuții.

Din păcate, din declarația problemei, nu cunoaștem forma distribuției timpului de răspuns (nu trebuie să fie normal). , această distribuție este, de asemenea, necunoscută. Cunoscut doar pentru el deviație standardσ = 8. Prin urmare, până când putem calcula probabilitățile și construi interval de încredere .

Cu toate acestea, în ciuda faptului că nu cunoaștem distribuția timprăspuns separat, știm că conform CPT , distribuția eșantionuluitimpul mediu de răspuns este aproximativ normal(vom presupune că condițiile CPT sunt efectuate deoarece marimea prelevarea de probe suficient de mare (n = 25)) .

În plus, in medie din această distribuție este in medie distribuirea unui singur răspuns, adică μ. DAR deviație standard din această distribuție (σ / √n) poate fi calculată prin formula = 8 / ROOT (25).

Se știe, de asemenea, că inginerul a primit estimare punctuală parametru μ egal cu 78 msec (X cf.). Prin urmare, acum putem calcula probabilitățile, deoarece cunoaștem forma de distribuție ( normal) și parametrii săi (X cf și σ / √n).

Inginerul vrea să știe valorea estimataμ din distribuția timpului de răspuns. După cum sa menționat mai sus, acest μ este egal cu așteptarea matematică a distribuției probei a timpului mediu de răspuns... Dacă folosim distributie normala N (X cf; σ / √n), atunci μ dorit va fi în intervalul +/- 2 * σ / √n cu o probabilitate de aproximativ 95%.

Nivelul de semnificație este egal cu 1-0,95 = 0,05.

În cele din urmă, găsiți marginea din stânga și din dreapta interval de încredere... Bordura stângă: = 78-STANDARD ST.OBR (1-0.05 / 2) * 8 / ROOT (25) = 74,864 Marginea dreaptă: = 78 + NORM.ST.OBR (1-0.05 / 2) * 8 / ROOT (25) = 81.136

Bordura stângă: = NORM.OBR (0,05 / 2; 78; 8 / ROOT (25)) Marginea dreaptă: = NORM.INV (1-0.05 / 2; 78; 8 / ROOT (25))

Răspuns : interval de încredere la nivel de încredere 95% și σ =8 Domnișoară este egal cu 78 +/- 3,136 msec.

ÎN exemplu de fișier pe foaia de lucru Sigma este cunoscută o formă de calcul și construcție bilateralinterval de încredere pentru arbitrar probe cu un σ dat și nivel de semnificație .

Funcția CONFIDENCE.NORM ()

Dacă valorile prelevarea de probe sunt în raza de acțiune B20: B79 , dar nivel de semnificație egal cu 0,05; apoi formula MS EXCEL: = MEDIE (B20: B79) -TRUST.NORM (0,05, σ, COUNT (B20: B79)) va întoarce frontiera stângă interval de încredere .

Aceeași margine poate fi calculată folosind formula: = MEDIE (B20: B79) -NORM.ST.INV (1-0.05 / 2) * σ / ROOT (COUNT (B20: B79))

Notă: Funcția CONFIDENCE.NORM () a apărut în MS EXCEL 2010. În versiunile anterioare ale MS EXCEL, a fost utilizată funcția CONFIDENCE ().