احتمال الثقة 95. طرق التحليل الكمي: تقدير فترات الثقة. اختبر إمكانيات الحلول المدفوعة

فاصل الثقة - القيم المحددة للكمية الإحصائية ، والتي مع وجود احتمال ثقة معين γ ستكون في هذه الفترة مع عينة أكبر. يشار إليه على أنه P (θ -. في الممارسة العملية ، يتم اختيار احتمالية الثقة γ من القيم γ = 0.9 ، γ = 0.95 ، γ = 0.99 القريبة بدرجة كافية من الوحدة.

الغرض من الخدمة... تحدد هذه الخدمة:

• فاصل الثقة للوسط العام ، فاصل الثقة للتباين ؛
• فاصل الثقة للانحراف المعياري ، فاصل الثقة للكسر العام ؛

يتم حفظ الحل الناتج في ملف Word. يوجد أدناه فيديو تعليمي حول كيفية ملء البيانات الأولية.

مثال 1. في المزرعة الجماعية ، من مجموع 1000 رأس من الأغنام ، خضع 100 رأس من الأغنام لقص انتقائي. ونتيجة لذلك ، تم تحديد معدل قص صوف يبلغ 4.2 كجم لكل خروف. حدد باحتمالية 0.99 خطأ جذر متوسط ​​مربع للعينة عند تحديد متوسط ​​قص الصوف لكل خروف واحد والحدود التي يتم فيها تضمين قيمة القص ، إذا كان التباين 2.5. العينة لا تتكرر.
المثال رقم 2. تم أخذ 20 عينة من المنتج "أ" من مجموعة المنتجات المستوردة في بريد جمارك شمال موسكو بترتيب أخذ عينات متكرر عشوائي. نتيجة الفحص ، تم تحديد متوسط ​​المحتوى الرطوبي للمنتج "أ" في العينة ، والذي تبين أنه 6٪ مع انحراف معياري 1٪.
حدد باحتمال 0.683 حدود متوسط ​​محتوى الرطوبة للمنتج في مجموعة المنتجات المستوردة بأكملها.
مثال رقم 3. أظهر مسح شمل 36 طالبًا أن متوسط ​​عدد الكتب المدرسية التي يقرؤونها السنة الأكاديمية، تبين أنها تساوي 6. بافتراض أن عدد الكتب المدرسية التي يقرأها الطالب في كل فصل دراسي له قانون توزيع عادي مع انحراف معياري يساوي 6 ، ابحث عن: أ) مع موثوقية قدرها 0.99 ، تقدير فاصل للتوقع الرياضي من هذا المتغير العشوائي. ب) مدى احتمالية التأكيد على أن متوسط ​​عدد الكتب المدرسية التي يقرأها الطالب في الفصل الدراسي ، المحسوب لهذه العينة ، ينحرف عن التوقع الرياضي بالقيمة المطلقة بما لا يزيد عن 2.

تصنيف فترة الثقة

حسب نوع المعلمة التي تم تقييمها:

حسب نوع العينة:

1. فترة الثقة للعينة اللانهائية ؛
2. فترة الثقة للعينة النهائية ؛

يسمى أخذ العينات إعادة التشكيل.إذا تم إرجاع الكائن المحدد إلى المجتمع قبل اختيار العنصر التالي. تسمى العينة غير متكررةإذا لم يتم إرجاع الكائن المحدد إلى عامة السكان. في الممارسة العملية ، عادة ما يتعامل المرء مع عينات غير مكررة.

حساب متوسط ​​خطأ أخذ العينات لأخذ العينات العشوائية

يسمى التناقض بين قيم المؤشرات التي تم الحصول عليها من العينة والمعلمات المقابلة لعامة السكان خطأ في التمثيل.
تعيينات المعلمات الرئيسية لعامة السكان وعينة السكان.

متوسط ​​معادلات خطأ أخذ العينات
إعادة الاختيار		اختيار غير متكرر
للوسط	للحصول على حصة	للوسط	للحصول على حصة

النسبة بين حد خطأ العينة () مضمونة ببعض الاحتمالات ف (ر) ،ويكون متوسط ​​خطأ أخذ العينات بالشكل: أو Δ = t μ ، أين ر- معامل الثقة ، الذي يتم تحديده اعتمادًا على مستوى الاحتمال P (t) وفقًا لجدول دالة لابلاس المتكاملة.

معادلات لحساب حجم العينة بطريقة اختيار عشوائية مناسبة

طريقة الاختيار	صيغ حجم العينة
	للوسط	للحصول على حصة
معاد
غير قابل للتكرار

يمكنك معرفة حجم العينة باستخدام الآلة الحاسبة.

طريقة فترة الثقة

تتضمن خوارزمية البحث عن فاصل الثقة الخطوات التالية:

1. تم تعيين احتمال الثقة γ (الموثوقية).
2. يتم استخدام العينة لتحديد تقدير المعلمة أ.
3. يتم حساب فاصل الثقة (أ - ε ؛ أ + ε) من العلاقة P (α 1).

مثال 1. عند التحقق من ملاءمة مجموعة من الأجهزة اللوحية (250 قطعة) ، اتضح أن متوسط ​​وزن الجهاز اللوحي يبلغ 0.3 جم ، والانحراف المعياري للوزن 0.01 جم. ينخفض ​​وزن الجهاز اللوحي باحتمال 90٪.
حل.

مثال. من ملاحظة العينة (العينة ب) ، احسب التقديرات غير المتحيزة للمتوسط ​​والتباين والانحراف المعياري للسكان.
حل التنزيل

مثال. ابحث عن فترات الثقة لتقدير المتوسط ​​والانحراف المعياري للمجموعات عند مستوى ثقة y ، إذا تم أخذ عينات B و y من المجموعات السكانية.
حل التنزيل

مثال.

1. باستخدام نتائج العمليات الحسابية التي تم إجراؤها في المهمة رقم 2 وبافتراض أنه تم الحصول على هذه البيانات باستخدام اختيار عشوائي غير قابل للتكرار بنسبة 10 في المائة ، حدد:
أ) الحدود التي لن يتجاوزها ، بمستوى ثقة 0.954 ، متوسط ​​قيمة الميزة ، المحسوبة لعامة السكان ؛
ب) كيفية تغيير حجم العينة لتقليل الخطأ الهامشي للمتوسط ​​بنسبة 50٪.
2. باستخدام نتائج الحسابات التي تم إجراؤها في المهمة رقم 2 وبافتراض أن هذه البيانات قد تم الحصول عليها باستخدام أخذ العينات المتكرر ، حدد:
أ) الحدود التي تتجاوز بعدها قيمة حصة الشركات التي تتجاوز فيها القيم الفردية للسمة الموضة بمستوى ثقة 0.954 في عموم السكان ؛
ب) كيفية تغيير حجم العينة لتقليل خطأ الكسر الهامشي بنسبة 20٪.
تعليمات منهجية

يمارس... خضع خط الإنتاج الخاص بإنتاج نفس النوع من الأجزاء لإعادة الإعمار ، حيث تم تعيين عينتين تعكسان النسبة المئوية للخردة على دفعات من الأجزاء المنتجة على هذا الخط قبل وبعد إعادة البناء.

مثال. فيما يلي بيانات عن تكاليف الحفر (c.u.) لـ 49 بئراً في قاعدة النفط في غرب سيبيريا في روسيا:

129	142	132	61	96	96	142	17	135	32
77	58	37	132	79	15	145	64	83	120
11	54	48	100	43	25	67	25	140	130
48	124	29	107	135	101	93	147	112	121
89	97	60	84	46	139	43	145	29

لتقدير تكلفة حفر بئر جديد:

1. لعمل عينة بطريقة عشوائية مناسبة بحجم n = 5 ؛
2. تحديد القيم الفاصلة لمتوسط ​​عموم السكان (X) وفقًا لمؤشرات العينة المحسوبة (X ، s 2) باستخدام دالة توزيع t للطالب عند مستوى الأهمية α = 0.05 ؛
3. تحديد قيمة النقطة للمتوسط ​​العام للسكان (X) وفقًا للبيانات الأولية ؛
4. تقييم صحة حسابات الفترات من خلال مقارنة قيمة النقطة (X) مع قيمة الفاصل المحسوب من العينة ؛

حلننفذ بمساعدة هذه الآلة الحاسبة:

1. حدد 5 قيم من الجدول. فليكن العمود 3: 132 ، 37 ، 48 ، 29 ، 60.
في الفصل "عرض السلسلة الإحصائية"اختر سلسلة منفصلة. في حقل عدد الأسطر ، حدد 5.

2. أدخل البيانات الأولية.

في حقل عدد المجموعات ، حدد العنصر " لا تجمع».

في حقل "فاصل الثقة للمتوسط ​​العام والتباين والانحراف المعياري" ، حدد القيمة γ = 0.95 (التي تقابل α = 0.05).

في الحقل "نموذج" ، حدد القيمة 10 (حيث تم تحديد 5 من أصل 49 قيمة ، وهو ما يتوافق مع 10.2٪ (5 / 49x100٪)).

في الفصل "النواتج الواجب الإبلاغ عنها"نضع علامة على العنصر الأول "فترة الثقة للعوارية العامة".

3. يتم حفظ الحل الناتج بتنسيق Word (تنزيل).
قبل العمليات الحسابية ، يتم إنشاء جدول أولي يتم فيه حساب عدد التكرارات لقيم س.

x	(x - x avg) 2
29	1036.84
37	585.64
48	174.24
60	1.44
132	5012.64
306	6810.8

في هذه الحالة ، تحدث جميع قيم X مرة واحدة بالضبط. يتم حساب قيم الفاصل الزمني لمتوسط ​​السكان بشكل عام في القسم " تقدير الفاصل لمركز عامة السكان ".
ملحوظة: في هذه الحالة ، تستخدم الحسابات تقدير الانحراف المعياري.

رقم المهمة 2: من أجل دراسة الوقت الذي يقضيه عمال المصنع في تصنيع جزء واحد ، تم أخذ عينات عشوائية غير متكررة بنسبة 10٪ ، ونتيجة لذلك تم الحصول على توزيع الأجزاء حسب الوقت ، المعروض في الملحق . ب.
بناءً على هذه البيانات ، احسب:
أ) متوسط ​​الوقت الذي يقضيه في تصنيع جزء واحد ؛
ب) متوسط ​​مربع الانحرافات (التباين) والانحراف المعياري ؛
ج) معامل الاختلاف.
د) مع احتمال 0.954 ، الخطأ الهامشي لمتوسط ​​العينة والحدود المحتملة التي يتوقع فيها متوسط ​​الوقت الذي يقضيه في تصنيع جزء واحد في المصنع ؛
هـ) مع احتمال 0.954 ، الخطأ الهامشي لمعدل العينة والحد جاذبية معينةعدد الأجزاء بأقل قدر من الوقت لتصنيعها. قبل إجراء الحسابات ، من الضروري تدوين شروط المشكلة وملء الجدول. 2.1

حل.
للحصول على حل ، نشير إلى المعلمات التالية:

• نوع السلاسل الإحصائية: تم تعيين سلسلة منفصلة ؛
• عدد المجموعات: لا تجمع ؛
• لإنشاء فاصل الثقة للمتوسط ​​العام والتباين والانحراف المعياري: y = 0.954 ؛
• لإنشاء فاصل الثقة للحصة العامة: y = 0.954 ؛
• العينة: 10 ؛
• التقرير: فاصل الثقة للعوارية العامة ، فاصل الثقة للنصيب العام ؛

رقم المهمة 3: باستخدام نتائج الحسابات التي تم إجراؤها في المهمة رقم 2 وبافتراض أنه تم الحصول على هذه البيانات باستخدام أخذ العينات المتكرر ، حدد:

ب) كيفية تغيير حجم العينة لتقليل الخطأ الهامشي للنسبة بنسبة 20٪.

حل.
باستخدام نتائج الحسابات التي تم إجراؤها في المهمة رقم 2 وبافتراض أنه تم الحصول على هذه البيانات باستخدام أخذ العينات المتكرر ، حدد:
أ) لن تتجاوز الحدود التي تتجاوزها قيمة حصة الشركات التي تتجاوز فيها القيم الفردية للسمة الوضع في عموم السكان بمستوى ثقة يبلغ 0.954 ؛
ب) كيفية تغيير حجم العينة لتقليل الخطأ الهامشي للنسبة بنسبة 20٪.

رقم المهمة 4: تم أخذ عينة عشوائية غير متكررة بنسبة 20٪ من مجموعة مصابيح كهربائية لتحديد متوسط ​​وزن الملف. نتائج أخذ العينات هي كما يلي. الوزن ، ملغ: 38-40 ؛ 40-42 ؛ 42-44 ؛ 44-46. عدد اللوالب: 15 ؛ 30 ؛ 45 ؛ 10. حدد باحتمالية 0.95 حدود الثقة ، حيث يقع متوسط ​​وزن الملف ، لمجموعة المصابيح الكهربائية بأكملها.

حل.
أدخل المعلمات التالية:

• نوع السلسلة الإحصائية: يتم تحديد سلسلة الفاصل الزمني ؛
• لإنشاء فاصل الثقة للمتوسط ​​العام والتباين والانحراف المعياري: y = 0.95 ؛
• العينة: 20 ؛
• التقرير: فترة الثقة للعوارية العامة.

رقم المهمة 5: في مصنع المصابيح الكهربائية من دفعة من المنتجات بمبلغ 16000 قطعة. المصابيح المأخوذة لعينة 1600 قطعة. (اختيار عشوائي غير قابل للتكرار) ، منها 40 قطعة. تبين أنه معيب. حدد باحتمالية 0.997 الحدود التي ستكون ضمنها النسبة المئوية للرفض لمجموعة المنتجات بأكملها.

حل.
هنا N = 16000 ، n = 1600 ، w = d / n = 40/1600 = 0.025.

يسمى احتمال أن تكون القيمة الحقيقية للكمية المقاسة ضمن فترة زمنية معينة مستوى الثقة ، أو عامل الأمان, والفاصل الزمني نفسه - فاصل الثقة.

كل مستوى ثقة له فترة الثقة الخاصة به. على وجه الخصوص ، يتوافق فاصل الثقة 0.67 مع فاصل الثقة من إلى. ومع ذلك ، فإن هذا البيان صالح فقط لعدد كبير بما فيه الكفاية من القياسات (أكثر من 10) ، ولا يبدو أن احتمال 0.67 موثوق بدرجة كافية - في كل سلسلة من سلاسل القياسات الثلاث تقريبًا ذقد يكون خارج فاصل الثقة. لاستقبال المزيد من الثقةحقيقة أن قيمة الكمية المقاسة تقع ضمن فاصل الثقة ، وعادة ما يتم تحديده من خلال احتمال الثقة 0.95 - 0.99. فاصل الثقة لاحتمالية ثقة معينة ، مع مراعاة تأثير عدد القياسات نيمكن إيجادها بضرب الانحراف المعياري للمتوسط ​​الحسابي

.

من خلال ما يسمى بمعامل الطالب. معاملات الطالب لعدد من القيم و نترد في الجدول.

الجدول - معاملات الطالب

عدد القياسات n	احتمال الثقة ذ
0,67	0,90	0,95	0,99
	2,0	6,3	12,7	63,7
	1,3	2,4	3,2	5,8
	1,2	2,1	2,8	4,6
	1,2	2,0	2,6	4,0
	1,1	1,8	2,3	3,3
	1,0	1,7	2,0	2,6

أخيرًا ، للكمية المقاسة ذعلى مستوى ثقة معين ذ وعدد القياسات نتم الحصول على الشرط

سوف نسمي الكمية خطأ عشوائي المقادير ذ.

مثال: انظر المحاضرة رقم 5 - سلسلة من الأرقام.

نحدد

مع عدد القياسات - 45 ومستوى الثقة - 0.95 ، نحصل على أن معامل الطالب يساوي تقريبًا 2.15. إذن فاصل الثقة لسلسلة القياسات هذه هو 62.6.

يخطئ (خطأ جسيم) -الأخطاء الجسيمة المرتبطة بأخطاء المشغل أو المؤثرات الخارجية غير المحسوبة. عادة ما يتم استبعادهم من نتائج القياس. عادة ما يكون سبب الخطأ هو الإهمال. يمكن أن تحدث أيضًا بسبب خلل في الجهاز.

تقدير فترات الثقة

أهداف التعلم

تعتبر الإحصائيات ما يلي مهمتين رئيسيتين:

لدينا بعض التقديرات بناءً على بيانات العينة ، ونريد تقديم بعض البيانات الاحتمالية حول المكان الذي يتم فيه تقدير القيمة الحقيقية للمعامل المراد تقديره.

لدينا فرضية محددة يجب اختبارها بناءً على بيانات العينة.

في هذا الموضوع ، نعتبر المهمة الأولى. نقدم أيضًا تعريف فاصل الثقة.

فاصل الثقة هو فاصل زمني مبني حول قيمة المعلمة المقدرة ويوضح مكان القيمة الحقيقية للمعلمة المقدرة باحتمال محدد مسبقًا.

بعد أن درست المادة المتعلقة بهذا الموضوع ، فأنت:

اكتشف ما هي فترة الثقة للتقدير ؛

تعلم كيفية تصنيف المهام الإحصائية.

إتقان تقنية إنشاء فترات الثقة ، سواء وفقًا للصيغ الإحصائية أو باستخدام أدوات البرامج ؛

تعلم كيفية تحديد أحجام العينات المطلوبة لتحقيق معايير معينة لدقة التقديرات الإحصائية.

توزيعات خصائص العينة

توزيع T.

كما نوقش أعلاه ، فإن توزيع المتغير العشوائي قريب من التوزيع الطبيعي المعياري بالمعاملين 0 و 1. بما أننا لا نعرف قيمة σ ، فإننا نستبدلها ببعض التقديرات. الكمية لها بالفعل توزيع مختلف ، أو توزيع t للطالب، والتي يتم تحديدها بواسطة المعلمة n -1 (عدد درجات الحرية). هذا التوزيع قريب من التوزيع الطبيعي (كلما كان n أكبر ، كلما اقتربت التوزيعات).

في التين. 95
يتم عرض توزيع الطالب مع 30 درجة من الحرية. كما ترى ، فهو قريب جدًا من التوزيع الطبيعي.

على غرار وظائف العمل مع التوزيع الطبيعي NORMDIST و NORMINV ، هناك وظائف للعمل مع توزيع t - TDIST و TINV... يمكن العثور على مثال لاستخدام هذه الوظائف في ملف TDIST.XLS (القالب والحل) وفي الشكل. 96
.

توزيعات الخصائص الأخرى

كما نعلم بالفعل ، لتحديد دقة تقدير التوقع الرياضي ، نحتاج إلى توزيع t. لتقدير المعلمات الأخرى ، مثل التباين ، يلزم توزيعات مختلفة. اثنان منهم هما توزيع F و × 2-التوزيع.

فاصل الثقة لوسط

فاصل الثقةعبارة عن فاصل زمني يتم إنشاؤه حول قيمة المعلمة المقدرة ويوضح المكان الذي توجد فيه القيمة الحقيقية للمعلمة المقدرة باحتمالية معينة مسبقًا.

يحدث بناء فاصل الثقة للمتوسط بالطريقة الآتية:

مثال

يخطط مطعم الوجبات السريعة لتوسيع تشكيلته بنوع جديد من السندويتشات. من أجل تقدير الطلب عليه ، يخطط المدير لاختيار 40 زائرًا بشكل عشوائي من أولئك الذين جربوه بالفعل ودعوتهم لتقييم موقفهم من المنتج الجديد في نقاط من 1 إلى 10. يريد المدير تقدير العدد المتوقع من النقاط التي ستحصل عليها منتج جديدوبناء فاصل ثقة 95٪ لهذا التقدير. كيف يمكن القيام بذلك؟ (انظر الملف SANDWICH1.XLS (النموذج والحل).

حل

لحل هذه المشكلة ، يمكنك استخدام. النتائج موجوده في الشكل. 97
.

فاصل الثقة للقيمة التراكمية

في بعض الأحيان ، بناءً على بيانات العينة ، من المطلوب تقدير ليس التوقع الرياضي ، ولكن المجموع الكلي للقيم. على سبيل المثال ، في موقف مع مدقق حسابات ، قد لا يكون من المفيد تقدير متوسط ​​قيمة الحساب ، ولكن مجموع كل الحسابات.

دع N يكون المبلغ الإجماليالعناصر ، n حجم العينة ، T 3 هو مجموع القيم في العينة ، T "هو تقدير المجموع على المجتمع بأكمله ، ثم ، ويتم حساب فاصل الثقة بالمعادلة ، حيث s هو تقدير الانحراف المعياري للعينة ، هو تقدير المتوسط ​​للعينة.

مثال

لنفترض أن بعض مكاتب الضرائب تريد تقدير إجمالي المبالغ المستردة للضرائب لـ 10000 دافع ضرائب. يتلقى دافع الضرائب استردادًا أو يدفع ضرائب إضافية. ابحث عن فاصل الثقة 95٪ لمبلغ الاسترداد بافتراض أن حجم العينة هو 500 شخص (راجع RETURNS SUM.XLS (النموذج والحل).

حل

لا يوجد إجراء خاص في StatPro لهذه الحالة ، ومع ذلك ، يمكنك أن ترى أنه يمكن الحصول على الحدود من حدود الوسط بناءً على الصيغ أعلاه (الشكل 98)
).

فاصل الثقة للنسبة

لنفترض أن p هو التوقع الرياضي لحصة العملاء ، و p في تقدير هذه الحصة التي تم الحصول عليها من عينة الحجم n. يمكن أن تظهر أن كبيرة بما فيه الكفاية سيكون توزيع التقدير قريبًا من الطبيعي بمتوسط ​​p والانحراف المعياري ... في هذه الحالة ، يتم التعبير عن الخطأ المعياري للتقدير ، وفترة الثقة كـ .

مثال

يخطط مطعم الوجبات السريعة لتوسيع تشكيلته بنوع جديد من السندويتشات. من أجل تقدير الطلب عليه ، اختار المدير عشوائياً 40 زائرًا من أولئك الذين جربوه بالفعل ودعاهم إلى تقييم موقفهم من المنتج الجديد في نقاط من 1 إلى 10. يريد المدير تقدير الحصة المتوقعة للعملاء من قام بتقييم المنتج الجديد بما لا يقل عن 6 نقاط (يتوقع أن يكون هؤلاء العملاء مستهلكين للمنتج الجديد).

حل

في البداية ، نقوم بإنشاء عمود جديد بناءً على 1 إذا كانت درجة العميل أكثر من 6 نقاط و 0 بخلاف ذلك (انظر الملف SANDWICH2.XLS (القالب والحل).

طريقة 1

بحساب الرقم 1 ، نقدر الحصة ، ثم نستخدم الصيغ.

يتم الحصول على قيمة z cr من جداول خاصة للتوزيع الطبيعي (على سبيل المثال ، 1.96 لفاصل الثقة 95٪).

باستخدام هذا النهج والبيانات المحددة لبناء فاصل 95٪ ، نحصل على النتائج التالية (الشكل 99
). القيمة الحرجة للمعامل z cr هي 1.96. الخطأ المعياري للتقدير هو 0.077. الحد الأدنى لفترة الثقة هو 0.475. الحد الأعلى لفترة الثقة 0.775. وبالتالي ، يحق للمدير أن يفترض بثقة 95٪ أن النسبة المئوية للعملاء الذين صنفوا المنتج الجديد 6 نقاط أو أعلى ستكون بين 47.5 و 77.5.

الطريقة الثانية

يمكن حل هذه المهمة باستخدام أدوات StatPro القياسية. للقيام بذلك ، يكفي ملاحظة أن المشاركة في هذه الحالة تتطابق مع متوسط ​​قيمة عمود النوع. بعد ذلك ، دعنا نطبق StatPro / الاستدلال الإحصائي / تحليل العينة الواحدةلإنشاء فاصل الثقة للمتوسط ​​(تقدير القيمة المتوقعة) لعمود النوع. ستكون النتيجة التي تم الحصول عليها في هذه الحالة قريبة جدًا من نتيجة الطريقة الأولى (الشكل 99).

فاصل الثقة للانحراف المعياري

كتقدير للانحراف المعياري ، يتم استخدام s (ترد الصيغة في القسم 1). دالة الكثافة في التقدير s هي دالة مربع كاي ، والتي ، مثل توزيع t ، لها درجة حرية بمقدار n-1. هناك وظائف خاصة للعمل مع توزيع CHIDIST و CHIINV هذا.

لن يكون فاصل الثقة في هذه الحالة متماثلًا. يظهر رسم تخطيطي للحدود في الشكل. 100.

مثال

يجب أن تنتج الآلة أجزاء بقطر 10 سم ، ولكن بسبب الظروف المختلفة ، تحدث أخطاء. يهتم مراقب الجودة بأمرين: أولاً ، يجب أن يكون المتوسط ​​10 سم ؛ ثانيًا ، حتى في هذه الحالة ، إذا كانت الانحرافات كبيرة ، فسيتم رفض العديد من الأجزاء. يقوم كل يوم بعمل عينة من 50 جزءًا (انظر ملف QUALITY CONTROL.XLS (النموذج والحل) ما هي الاستنتاجات التي يمكن أن يقدمها مثل هذا النموذج؟

حل

ارسم فواصل الثقة 95٪ للمتوسط ​​والانحراف المعياري باستخدام StatPro / الاستدلال الإحصائي / تحليل العينة الواحدة(الشكل 101
).

علاوة على ذلك ، باستخدام افتراض التوزيع الطبيعي للأقطار ، نحسب نسبة المنتجات المعيبة ، مع تحديد أقصى انحراف قدره 0.065. باستخدام إمكانيات جدول الاستبدال (في حالة وجود معاملين) ، نبني اعتماد معدل الزواج على متوسط ​​القيمة والانحراف المعياري (الشكل 102)
).

فترة الثقة للفرق بين وسيلتين

هذا هو أحد أهم التطبيقات أساليب إحصائية... أمثلة على المواقف.

يرغب مدير متجر لبيع الملابس في معرفة مقدار ما تنفقه المتسوقة المتوسطة في المتجر أكثر أو أقل من الرجل.

الشركتان تعملان في طرق متشابهة. تود منظمة المستهلكين مقارنة الفرق بين متوسط ​​تأخيرات الرحلات المتوقعة لكلا الشركتين.

ترسل الشركة قسائم إلى أنواع معينةالبضائع في مدينة ولا ترسل في أخرى. يرغب المديرون في مقارنة متوسط ​​حجم الشراء لهذه العناصر خلال الشهرين المقبلين.

غالبًا ما يتعامل تاجر السيارات مع الأزواج في العروض التقديمية. غالبًا ما تتم مقابلة الأزواج بشكل منفصل لفهم ردود أفعالهم الشخصية على العرض التقديمي. يريد المدير تقييم الاختلاف في التصنيفات التي أبلغ عنها الرجال والنساء.

حالة العينات المستقلة

سيكون للفرق بين الوسيلة توزيع t مع n 1 + n 2 - 2 درجة من الحرية. يتم التعبير عن فاصل الثقة لـ μ 1 - μ 2 بواسطة النسبة:

يمكن حل هذه المهمة ليس فقط من خلال الصيغ المذكورة أعلاه ، ولكن أيضًا عن طريق أدوات StatPro القياسية. للقيام بذلك ، يكفي أن تطبق

فاصل الثقة للفرق بين النسب

اسمحوا أن يكون التوقع الرياضي للأسهم. اسمحوا أن تكون تقديرات العينة الخاصة بهم مبنية من عينات من الحجم n 1 و n 2 ، على التوالي. ثم تقدير الفرق. لذلك ، يتم التعبير عن فاصل الثقة لهذا الاختلاف على النحو التالي:

هنا z cr هي القيمة التي تم الحصول عليها من التوزيع الطبيعي وفقًا لجداول خاصة (على سبيل المثال ، 1.96 لفاصل الثقة 95٪).

يتم التعبير عن الخطأ المعياري للتقدير في هذه الحالة من خلال النسبة:

.

مثال

قام المتجر ، استعدادًا لعملية البيع الكبيرة ، بما يلي بحوث التسويق... تم اختيار أفضل 300 مشتر ، والتي بدورها تم تقسيمها بشكل عشوائي إلى مجموعتين من 150 عضوًا لكل منهما. تم إرسال دعوات لجميع المشترين المختارين للمشاركة في عملية البيع ، ولكن فقط أعضاء المجموعة الأولى كانوا مصحوبين بقسيمة تمنحهم خصمًا بنسبة 5٪. أثناء البيع ، تم تسجيل مشتريات جميع المشترين المختارين البالغ عددهم 300. كيف يمكن للمدير تفسير النتائج والاستنتاج بشأن فعالية تسليم الكوبون؟ (انظر الملف COUPONS.XLS (النموذج والحل)).

حل

بالنسبة لحالتنا الخاصة ، من بين 150 مشترًا حصلوا على قسيمة خصم ، أجرى 55 عملية شراء بسعر بيع ، ومن بين 150 مشتريًا لم يتلقوا قسيمة ، أجرى 35 عملية شراء فقط (الشكل 103)
). ثم قيم نسب العينة 0.3667 و 0.2333 على التوالي. وفرق العينة بينهما يساوي 0.1333 على التوالي. بافتراض أن مجال الثقة 95٪ ، نجد z cr = 1.96 من جدول التوزيع الطبيعي. حساب الخطأ المعياري لفرق العينة هو 0.0524. أخيرًا ، حصلنا على أن الحد الأدنى لفاصل الثقة 95٪ هو 0.0307 ، والحد الأعلى هو 0.2359 ، على التوالي. يمكن تفسير النتائج على أنها تعني أنه لكل 100 عميل يحصلون على كوبون خصم ، يمكنك أن تتوقع من 3 إلى 23 عميلًا جديدًا. ومع ذلك ، يجب ألا يغيب عن الأذهان أن هذا الاستنتاج في حد ذاته لا يعني فعالية استخدام القسائم (بما أنه من خلال تقديم خصم ، فإننا نخسر في الربح!). دعنا نوضح هذا ببيانات محددة. لنفترض أن متوسط ​​حجم الشراء هو 400 روبل ، منها 50 روبل. هناك ربح من المتجر. ثم يكون الربح المتوقع لكل 100 مشتري لم يحصلوا على الكوبون هو:

50 0.2333 100 = 1166.50 روبل.

تعطي الحسابات المماثلة لـ 100 مشتري حصلوا على القسيمة:

30 0.3667 100 = 1100.10 روبل.

يرجع الانخفاض في متوسط ​​الربح إلى 30 إلى حقيقة أن العملاء الذين حصلوا على القسيمة ، باستخدام الخصم ، سيقومون ، في المتوسط ​​، بشراء 380 روبل.

وبالتالي ، فإن الاستنتاج النهائي يتحدث عن عدم فعالية استخدام هذه القسائم في هذه الحالة بالذات.

تعليق. يمكن حل هذه المهمة باستخدام أدوات StatPro القياسية. للقيام بذلك ، يكفي اختزال هذه المشكلة إلى مشكلة تقدير اختلاف طريقتين بالطريقة ، ثم تطبيق StatPro / الاستدلال الإحصائي / التحليل ثنائي العينةلبناء فاصل ثقة للفرق بين قيمتين متوسطتين.

التحكم بطول فترة الثقة

طول فترة الثقة يعتمد على وفقا للشروط:

البيانات المباشرة (الانحراف المعياري) ؛

مستوى الأهمية

حجم العينة.

حجم العينة لتقدير المتوسط

أولاً ، ضع في اعتبارك المشكلة في الحالة العامة. دعونا نحدد قيمة نصف طول فترة الثقة المعطاة لنا على أنها B (الشكل 104
). نحن نعلم أنه يتم التعبير عن فاصل الثقة للقيمة المتوسطة لبعض المتغيرات العشوائية X بالصيغة ، أين ... بافتراض:

والتعبير عن n ، نحصل عليه.

لسوء الحظ ، لا نعرف القيمة الدقيقة لتباين المتغير العشوائي X. بالإضافة إلى ذلك ، لا نعرف قيمة t cr ، لأنها تعتمد على n من خلال عدد درجات الحرية. في هذه الحالة ، يمكننا المضي قدمًا على النحو التالي. بدلاً من التباين s ، نستخدم تقديرًا للتباين بناءً على أي تحققات متاحة للمتغير العشوائي قيد الدراسة. بدلاً من قيمة t cr ، نستخدم قيمة z cr للتوزيع الطبيعي. هذا مقبول تمامًا ، نظرًا لأن وظائف كثافة التوزيع للتوزيع الطبيعي والتوزيع t قريبة جدًا (باستثناء حالة n الصغيرة). وهكذا ، تأخذ الصيغة المطلوبة الشكل:

.

نظرًا لأن الصيغة تعطي ، بشكل عام ، نتائج غير صحيحة ، يتم أخذ حجم العينة المطلوب ليكون التقريب الزائد للنتيجة.

مثال

يخطط مطعم الوجبات السريعة لتوسيع تشكيلته بنوع جديد من السندويتشات. من أجل تقييم الطلب عليه ، يخطط المدير لاختيار عشوائي لعدد معين من الزوار من أولئك الذين جربوه بالفعل ، ودعوتهم لتقييم موقفهم من المنتج الجديد في نقاط من 1 إلى 10. يريد المدير أن تقدير العدد المتوقع للنقاط التي سيحصل عليها المنتج الجديد وإنشاء فاصل ثقة 95٪ لهذا التقدير. في الوقت نفسه ، يريد ألا يتجاوز نصف عرض فاصل الثقة 0.3. كم عدد الزوار الذي يجب أن يقابله؟

على النحو التالي:

هنا ص الشوريهو تقدير الكسر p ، و B هو النصف المعطى من طول فترة الثقة. يمكن الحصول على قيمة مبالغ فيها لـ n باستخدام القيمة ص الشوري= 0.5. في هذه الحالة ، لن يتجاوز طول فترة الثقة القيمة المعطاة لـ B لأي قيمة حقيقية لـ p.

مثال

دع المدير من المثال السابق يخطط لتقدير نسبة العملاء الذين فضلوا نوعًا جديدًا من المنتجات. إنه يريد بناء فاصل ثقة بنسبة 90٪ ، لن يتجاوز نصف طوله 0.05. كم عدد العملاء الذين يجب تضمينهم في العينة العشوائية؟

حل

في حالتنا ، قيمة z cr = 1.645. لذلك ، يتم حساب المبلغ المطلوب على أنه .

إذا كان لدى المدير سبب للاعتقاد بأن القيمة المرغوبة لـ p هي ، على سبيل المثال ، حوالي 0.3 ، فعند استبدال هذه القيمة في الصيغة أعلاه ، سنحصل على قيمة أصغر للعينة العشوائية ، وهي 228.

صيغة لتحديد أحجام العينة العشوائية في حالة الاختلاف بين وسيلتينمكتوب على النحو التالي:

.

مثال

بعض شركة حاسوبلديها مركز خدمة العملاء. في الآونة الأخيرة ، زاد عدد شكاوى العملاء بشأن رداءة جودة الخدمة. يعمل في مركز الخدمة بشكل أساسي نوعين من الموظفين: أولئك الذين ليس لديهم خبرة كبيرة ، ولكنهم أكملوا دورات تحضيرية خاصة ، والذين لديهم خبرة عملية واسعة ، لكنهم لم يكملوا دورات خاصة. تريد الشركة تحليل شكاوى العملاء خلال الأشهر الستة الماضية ومقارنة متوسط ​​الأرقام لكل مجموعة من مجموعتي الموظفين. من المفترض أن تكون الكميات في العينات لكلتا المجموعتين هي نفسها. كم عدد الموظفين الذين يجب تضمينهم في العينة للحصول على فاصل زمني 95٪ مع نصف طول لا يزيد عن 2؟

حل

هنا оц هو تقدير للانحراف المعياري لكل من المتغيرات العشوائية على افتراض أنها قريبة. وبالتالي ، في مهمتنا ، نحتاج بطريقة ما إلى الحصول على هذا التقدير. يمكن القيام بذلك ، على سبيل المثال ، على النحو التالي. بعد الاطلاع على البيانات الخاصة بشكاوى العملاء خلال الأشهر الستة الماضية ، قد يلاحظ المدير أنه لكل موظف ، هناك بشكل أساسي من 6 إلى 36 شكوى. مع العلم أنه بالنسبة للتوزيع الطبيعي ، تتم إزالة جميع القيم تقريبًا من المتوسط ​​بما لا يزيد عن ثلاثة انحرافات معيارية ، يمكن أن يعتقد بشكل معقول أن:

، من أين σ оц = 5.

بالتعويض بهذه القيمة في الصيغة ، نحصل على .

صيغة لتحديد حجم العينة العشوائية في حالة تقدير الفرق بين الأسهميشبه:

مثال

لدى شركة معينة مصنعين ينتجان منتجات متشابهة. يريد مدير الشركة مقارنة نسبة المنتجات المعيبة في كلا المصنّعين. وبحسب المعلومات المتوفرة فإن نسبة الخردة في كلا المصنعين تتراوح بين 3 و 5٪. من المفترض أن تبني فاصل ثقة بنسبة 99٪ بنصف طول لا يزيد عن 0.005 (أو 0.5٪). كم عدد العناصر التي يجب أن تؤخذ من كل مصنع؟

حل

هنا p 1ots و p 2ots هي تقديرات لمعدلي خردة غير معروفين في المصانع الأولى والثانية. إذا وضعنا p 1ots = p 2ots = 0.5 ، فإننا نحصل على قيمة مبالغ فيها لـ n. ولكن نظرًا لأن لدينا في حالتنا بعض المعلومات المسبقة حول هذه الأسهم ، فإننا نأخذ التقدير الأعلى لهذه الأسهم ، وهو 0.05. نحن نحصل

عندما يتم تقدير بعض معلمات المجتمع من بيانات العينة ، من المفيد إعطاء ليس فقط تقدير نقطي للمعلمة ، ولكن أيضًا للإشارة إلى فاصل الثقة ، والذي يوضح المكان الذي يمكن أن توجد فيه القيمة الدقيقة للمعلمة المقدرة.

في هذا الفصل ، تعرفنا أيضًا على النسب الكمية التي تسمح لنا ببناء مثل هذه الفواصل الزمنية لمعايير مختلفة ؛ تعلمت كيفية التحكم في طول فترة الثقة.

لاحظ أيضًا أن مشكلة تقدير حجم العينة (مشكلة التخطيط لتجربة) يمكن حلها باستخدام أدوات StatPro القياسية ، وهي: StatPro / الاستدلال الإحصائي / اختيار حجم العينة.

في هذه المقالة سوف تتعلم:

ماذا او ما فاصل الثقة?

ما هو الجوهر 3 قواعد سيجما?

كيف يمكن تطبيق هذه المعرفة في الممارسة؟

في الوقت الحاضر ، نظرًا لوفرة المعلومات المرتبطة بمجموعة كبيرة من السلع ، ومناطق المبيعات ، والموظفين ، والأنشطة ، وما إلى ذلك ، قد يكون من الصعب إبراز العنصر الرئيسي، أولاً وقبل كل شيء ، يستحق الاهتمام وبذل الجهود لإدارته. تعريف فاصل الثقةوتحليل تجاوز حدود القيم الفعلية - وهي تقنية يساعدك على إبراز المواقف, التأثير على التغيير في الاتجاهات.ستكون قادرًا على تطوير العوامل الإيجابية وتقليل تأثير العوامل السلبية. هذه التكنولوجياتستخدم في العديد من الشركات العالمية المعروفة.

هناك ما يسمى " تنبيهات "، أي إبلاغ المديرينأن القيمة التالية في اتجاه معين تجاوز فاصل الثقة... ماذا يعني هذا؟ هذه إشارة إلى وقوع حدث غير قياسي ، والذي من المحتمل أن يغير الاتجاه الحالي في هذا الاتجاه. هذه هي الإشارةإلى الحقيقة لمعرفة ذلكفي الموقف وفهم ما أثر فيه.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك بعض المواقف. حسبنا توقعات المبيعات بالحدود المتوقعة لـ 100 سلعة لعام 2011 حسب الأشهر والمبيعات الفعلية في مارس:

1. بالنسبة إلى "زيت عباد الشمس" ، فقد اخترقوا الحد الأعلى للتنبؤ ولم يقعوا في فترة الثقة.
2. في "الخميرة الجافة" تجاوزوا الحد الأدنى للتنبؤات.
3. في "عصيدة الشوفان" تم كسر الحد الأعلى.

بالنسبة لبقية البضائع ، كانت المبيعات الفعلية ضمن حدود التوقعات المحددة. أولئك. كانت مبيعاتهم متوافقة مع التوقعات. لذلك ، حددنا 3 منتجات تجاوزت الحدود ، وبدأنا في معرفة العوامل التي أثرت في تجاوز الحدود:

1. بالنسبة لـ "زيت عباد الشمس" دخلنا في حقل جديد شبكة التداول، مما أعطانا مبيعات إضافية ، مما أدى إلى تجاوز الحد العلوي. بالنسبة لهذا المنتج ، يجدر إعادة حساب التوقعات حتى نهاية العام ، مع مراعاة توقعات المبيعات لهذه الشبكة.
2. أما "الخميرة الجافة" فقد علقت السيارة في الجمارك وحدث نقص خلال 5 أيام مما أثر على تراجع المبيعات وتجاوز الحد الأدنى. قد يكون من المفيد معرفة السبب ومحاولة عدم تكرار هذا الموقف.
3. تم إطلاق حدث ترويج المبيعات لعصيدة الشوفان ، مما أدى إلى زيادة كبيرة في المبيعات وأدى إلى تجاوز حدود التوقعات.

لقد حددنا 3 عوامل أثرت في تجاوز حدود التوقعات. يمكن أن يكون هناك الكثير منها في الحياة. لتحسين دقة التنبؤ والتخطيط ، فإن العوامل التي تؤدي إلى حقيقة أن المبيعات الفعلية قد تتجاوز حدود التوقعات ، يجدر إبراز وبناء التوقعات والخطط لها بشكل منفصل . ثم ضع في اعتبارك تأثيرها على توقعات المبيعات الرئيسية. يمكنك أيضًا تقييم تأثير هذه العوامل بانتظام وتغيير الوضع للأفضل عن طريق الحد من التأثير السلبي وزيادة تأثير العوامل الإيجابية.

مع فترة الثقة ، يمكننا:

1. قم بتمييز الاتجاهات، والتي تستحق الاهتمام بها ، tk. في هذه المناطق ، وقعت أحداث قد تؤثر تغيير الاتجاه.
2. تحديد العواملالتي تؤثر حقًا على التغيير في الموقف.
3. قبول قرار متوازن(على سبيل المثال ، حول المشتريات والتخطيط وما إلى ذلك).

الآن دعونا نلقي نظرة على ماهية فاصل الثقة وكيفية حسابه في Excel باستخدام مثال.

ما هي فترة الثقة؟

فاصل الثقة هو حدود التنبؤ (العلوية والسفلية) ، والتي ضمنها باحتمالية معينة (سيغما)سيتم تضمين القيم الفعلية.

أولئك. نحسب التوقعات - هذه هي النقطة المرجعية الرئيسية لدينا ، لكننا نفهم أنه من غير المحتمل أن تكون القيم الفعلية مساوية 100٪ لتوقعاتنا. والسؤال الذي يطرح نفسه ، في أي حدودقد يتم تضمين القيم الفعلية ، إذا استمر الاتجاه الحالي؟ وهذا السؤال سيساعدنا في الإجابة حساب فترة الثقة، بمعنى آخر. - الحدود العليا والسفلى للتنبؤ.

ما هو الهدف سيجما الاحتمالية؟

عند حسابفاصل الثقة يمكننا ضبط الاحتمال ضربالقيم الفعلية ضمن حدود التوقعات المحددة... كيف افعلها؟ للقيام بذلك ، قمنا بتعيين قيمة سيجما ، وإذا كانت سيجما متساوية:

3 سيجما- إذن ، سيكون احتمال وقوع القيمة الفعلية التالية في فترة الثقة 99.7٪ ، أو 300 إلى 1 ، أو احتمال 0.3٪ لتجاوز الحدود.

2 سيجما- عندئذٍ يكون احتمال الوصول إلى القيمة التالية داخل الحدود ≈ 95.5٪ ، أي الاحتمالات تقارب 20 إلى 1 ، أو هناك احتمال 4.5٪ للخروج من الحدود.

1 سيجما- إذن ، الاحتمال ≈ 68.3٪ ، أي الاحتمالات حوالي 2 إلى 1 ، أو هناك احتمال 31.7٪ أن القيمة التالية ستقع خارج نطاق الثقة.

لقد صاغنا 3 حكم سيجما ،الذي يقول ذلك ضرب الاحتمالالقيمة العشوائية التالية في فترة الثقةبقيمة معينة ثلاث سيجما 99.7٪.

أثبت عالم الرياضيات الروسي العظيم تشيبيشيف نظرية أن هناك احتمالًا بنسبة 10٪ لتجاوز حدود التوقعات بقيمة معينة من ثلاث سيغما. أولئك. سيكون احتمال الوقوع في فاصل الثقة 3 سيجما 90٪ على الأقل ، في حين أن محاولة حساب التنبؤ وحدوده "بالعين" محفوفة بأخطاء أكثر أهمية.

كيف تحسب بشكل مستقل فاصل الثقة في إكسيل؟

دعنا نفكر في حساب فاصل الثقة في Excel (أي الحد العلوي والسفلي للتنبؤ) باستخدام مثال. لدينا سلسلة زمنية - المبيعات حسب الأشهر على مدى 5 سنوات. شاهد الملف المرفق.

لحساب حدود التوقع ، سنحسب:

1. توقعات المبيعات().
2. سيجما - الانحراف المعيارينماذج التنبؤ من القيم الفعلية.
3. ثلاثة سيجما.
4. فاصل الثقة.

1. توقعات المبيعات.

= (RC [-14] (البيانات في سلسلة زمنية)- RC [-1] (قيمة النموذج)) ^ 2 (تربيع)

3. دعونا نجمع لكل شهر قيم الانحرافات عن مجموع المرحلة 8 ((Xi-Ximod) ^ 2) ، أي تلخيص يناير وفبراير ... لكل عام.

للقيام بذلك ، استخدم الصيغة = SUMIF ()

SUMIF (مصفوفة بأرقام الفترات داخل الدورة (للأشهر من 1 إلى 12) ؛ مرجع إلى رقم الفترة في الدورة ؛ مرجع إلى المصفوفة مع مربعات الفرق بين البيانات الأصلية والقيم من الفترات)

4. لنحسب الانحراف المعياري لكل فترة في الدورة من 1 إلى 12 (المرحلة العاشرة في الملف المرفق).

للقيام بذلك ، من القيمة المحسوبة في المرحلة 9 ، نقوم باستخراج الجذر ونقسمه على عدد الفترات في هذه الدورة ناقص 1 = الجذر ((Sum (Xi-Ximod) ^ 2 / (n-1))

دعنا نستخدم الصيغ في Excel = ROOT (R8 (إشارة إلى (Sum (Xi-Ximod) ^ 2)/ (COUNTIF ($ O $ 8: $ O $ 67 (إشارة إلى مجموعة بأرقام دورة)؛ O8 (إشارة إلى رقم دورة محدد ، والتي يتم حسابها في المصفوفة))-1))

باستخدام صيغة Excel = COUNTIFنحسب العدد n

بحساب الانحراف المعياري للبيانات الفعلية من نموذج التنبؤ ، حصلنا على قيمة سيجما لكل شهر - المرحلة 10 في الملف المرفق .

3. دعونا نحسب 3 سيجما.

في المرحلة الحادية عشرة ، حددنا عدد سيجما - في مثالنا ، "3" (المرحلة الحادية عشرة في الملف المرفق):

أيضًا قيم سيجما العملية هي:

1.64 سيجما - فرصة 10٪ لتجاوز الحد (فرصة واحدة في 10) ؛

1.96 سيجما - فرصة 5٪ للخروج عن الحدود (فرصة واحدة في 20) ؛

2.6 سيجما - فرصة 1٪ للخروج من الحدود (فرصة واحدة في 100).

5) حساب ثلاث سيجما، لهذا نقوم بضرب قيم "سيجما" لكل شهر في "3".

3. تحديد فترة الثقة.

1. الحد الأعلى للتنبؤ- توقعات المبيعات مع الأخذ في الاعتبار النمو والموسمية + (زائد) 3 سيجما ؛
2. الحد الأدنى للتنبؤ- توقعات المبيعات مع الأخذ في الاعتبار النمو والموسمية - (ناقص) 3 سيجما ؛

لسهولة حساب فاصل الثقة لفترة طويلة (انظر الملف المرفق) ، سنستخدم صيغة Excel = Y8 + VLOOKUP (W8؛ $ U $ 8: $ V $ 19؛ 2؛ 0)، أين

Y8- توقعات المبيعات؛

W8- رقم الشهر الذي سنأخذ فيه قيمة 3 سيجما ؛

أولئك. الحد الأعلى للتنبؤ= "توقعات المبيعات" + "3 سيجما" (في المثال ، VLOOKUP (رقم الشهر ؛ جدول يحتوي على 3 قيم سيجما ؛ العمود الذي نستخرج منه قيمة سيجما التي تساوي رقم الشهر في الصف المقابل ؛ 0)).

الحد الأدنى للتنبؤ= "توقعات المبيعات" ناقص "3 سيجما".

لذلك ، قمنا بحساب فاصل الثقة في Excel.

الآن لدينا توقع ونطاق بحدود تقع ضمنها القيم الفعلية مع احتمال معين لـ سيجما.

في هذه المقالة ، نظرنا في ماهية سيجما وقاعدة سيجما الثلاثة ، وكيفية تحديد فترة الثقة ، ولماذا يمكنك استخدام هذه التقنية في الممارسة العملية.

تنبؤات دقيقة ونجاح!

كيف يمكن لـ Forecast4AC PRO مساعدتكعند حساب فترة الثقة?:

سيحسب Forecast4AC PRO تلقائيًا الحدود العليا أو الدنيا للتنبؤ لأكثر من 1000 سلسلة زمنية في نفس الوقت ؛

القدرة على تحليل حدود التوقعات بالمقارنة مع التوقعات والاتجاه والمبيعات الفعلية على الرسم البياني بضغطة زر واحدة ؛

برنامج Forcast4AC PRO لديه القدرة على تعيين قيمة سيجما من 1 إلى 3.

انضم إلينا!

قم بتنزيل تطبيقات مجانية للتنبؤ وتحليل الأعمال:

• نوفو تنبؤات لايت- تلقائي حساب التوقعاتالخامس اكسل.
• 4analytics - تحليل ABC-XYZوتحليل الانبعاثات في اكسل.
• كليك سينسسطح المكتب و QlikViewالإصدار الشخصي - أنظمة BI لتحليل البيانات والتصور.

اختبر إمكانيات الحلول المدفوعة:

• Novo Forecast PRO- التنبؤ في Excel لمجموعات البيانات الكبيرة.

تاريخ التحديث الأخير: 3 مارس 2020

ملف مثال

دعونا نبني في MS EXCEL فاصل ثقة لتقدير القيمة المتوسطة للتوزيع في حالة وجود قيمة معروفة للتباين.

بالطبع الاختيار مستوى الثقةيعتمد كليا على المشكلة التي يتم حلها. وبالتالي ، فإن درجة ثقة الراكب الجوي في موثوقية الطائرة ، بلا شك ، يجب أن تكون أعلى من درجة ثقة المشتري في موثوقية المصباح الكهربائي.

عرض للمشكلة

افترض أن من عامة السكانبعد اتخاذها عينةحجم يفترض أن الانحراف المعياريهذا التوزيع معروف. إنه ضروري على أساس هذا أخذ العيناتتقييم المجهول يعني التوزيع(μ ،) وبناء المقابل على الوجهينفاصل الثقة .

تقدير النقطة

كما هو معروف من الإحصاء(نشير إليه X الأربعاء) هو تقدير غير متحيز للمتوسطهذه عامة السكانوله التوزيع N (μ ؛ σ 2 / ن).

ملحوظة : ماذا تفعل إذا كنت بحاجة إلى البناء فاصل الثقةفي حالة التوزيع الذي ليسعادي؟في هذه الحالة ، يتعلق الأمر بالإنقاذ ، الذي يقول ذلك بحجم كبير بدرجة كافية أخذ العيناتن من التوزيع لا يجريعادي , توزيع عينات الإحصاء X avإرادة تقريباتطابق التوزيع الطبيعيمع المعلمات N (μ ؛ σ 2 / ن).

وبالتالي، تقدير النقطةوسطقيم التوزيعلدينا - هذا متوسط ​​العينة، بمعنى آخر. X الأربعاء... الآن دعنا ننتقل إلى فاصل الثقة.

التآمر على فترة الثقة

عادة ، بمعرفة التوزيع ومعلماته ، يمكننا حساب احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي قيمة من الفترة التي حددناها. والآن لنفعل العكس: أوجد الفترة الزمنية التي يقع فيها المتغير العشوائي باحتمالية معينة. على سبيل المثال ، من الخصائص التوزيع الطبيعيمن المعروف أنه مع احتمال 95٪ ، يتم توزيع متغير عشوائي القانون العادي، ستقع في نطاق تقريبًا +/- 2 من قيمة متوسط(انظر المقال حول). ستكون هذه الفترة بمثابة نموذج أولي لنا فاصل الثقة .

لنكتشف الآن ما إذا كنا نعرف التوزيع , لحساب هذه الفترة؟ للإجابة على السؤال ، يجب أن نشير إلى شكل التوزيع ومعلماته.

نحن نعرف شكل التوزيع - هو كذلك التوزيع الطبيعي(أذكر ذلك يأتيا توزيع العينةالإحصاءX الأربعاء).

لا نعرف المعلمة μ (تحتاج فقط إلى تقديرها باستخدام فاصل الثقة) ، ولكن لدينا تقديره X الأربعاء ،محسوبة على أساس أخذ العينات،التي يمكن استخدامها.

المعلمة الثانية هي الانحراف المعياري لمتوسط ​​العينةسوف نعتبرها معروفة، فهي تساوي σ / √n.

لأن لا نعرف μ ، ثم سنقوم ببناء الفاصل الزمني +/- 2 انحرافات معياريةليس من قيمة متوسطومن تقديره المعروف X الأربعاء... أولئك. عند الحساب فاصل الثقةلن نفترض ذلك X الأربعاءيقع في النطاق +/- 2 انحرافات معياريةمن μ مع احتمال 95٪ ، وسنفترض أن الفاصل الزمني +/- 2 انحرافات معياريةمن عند X الأربعاءمع احتمال 95٪ سيغطي μ - متوسط ​​السكان عامة ،الذي يؤخذ منه عينة... هاتان العبارتان متساويتان ، لكن العبارة الثانية تسمح لنا بالبناء فاصل الثقة .

بالإضافة إلى ذلك ، دعونا نحسن الفاصل الزمني: متغير عشوائي موزع القانون العادي، مع احتمال 95٪ يقع في النطاق +/- 1.960 انحرافات معيارية،لا +/- 2 انحرافات معيارية... يمكن حساب ذلك باستخدام الصيغة = NORM.ST.OBR ((1 + 0.95) / 2)، سم. مثال على تباعد ورقة الملف .

يمكننا الآن صياغة بيان احتمالي يخدمنا في التكوين فاصل الثقة: "احتمال أن متوسط ​​عدد السكانانه من عينة متوسطةفي نطاق 1960 " متوسط ​​الانحرافات المعيارية للعينة "تساوي 95٪ ".

قيمة الاحتمال المذكورة في البيان لها اسم خاص الذي يرتبط بـمستوى الأهمية α (ألفا) بتعبير بسيط مستوى الثقة = 1 -α . في حالتنا هذه مستوى الأهمية α =1-0,95=0,05 .

الآن ، بناءً على هذا البيان الاحتمالي ، نكتب تعبيرًا لحسابه فاصل الثقة :

حيث Z α / 2 – اساسيالتوزيع الطبيعي(هذه القيمة للمتغير العشوائي ض , ماذا او ما ص (ض >= ض α / 2 ) = α / 2).

ملحوظة : العلوي α / 2-quantileيحدد العرض فاصل الثقةالخامس انحرافات معياريةمتوسط ​​العينة. العلوي α / 2-quantile اساسيالتوزيع الطبيعيدائمًا أكبر من 0 ، وهو أمر مريح للغاية.

في حالتنا ، عند α = 0.05 ، العلوي α / 2-quantile يساوي 1.960. لمستويات الأهمية الأخرى α (10٪ ، 1٪) العلوي α / 2-quantileض α / 2 يمكن حسابها باستخدام الصيغة = STANDARD ST.OBR (1-α / 2)أو إذا كان معروفًا مستوى الثقة , = NORM.ST.OBR ((1 + مستوى الثقة) / 2) .

عادة عند البناء فترات الثقة لتقدير المتوسطفقط استخدم α العلوي /2- كميةولا تستخدم α السفلي /2- كمية... هذا ممكن لأن اساسيالتوزيع الطبيعيبشكل متماثل حول المحور السيني ( كثافة توزيعهمتماثل فيما يتعلق متوسط ​​، أي 0) . لذلك ، ليست هناك حاجة للحساب انخفاض α / 2-quantile(يطلق عليه ببساطة α / 2-كمي)، لأن إنها متساوية α العلوي /2- كميةبعلامة ناقص.

تذكر أنه على الرغم من شكل توزيع الكمية x ، المتغير العشوائي المقابل X الأربعاءوزعت تقريبابخير N (μ ؛ σ 2 / ن) (انظر مقالة حول). لذلك ، في الحالة العامة ، فإن التعبير أعلاه لـ فاصل الثقةتقريبي فقط. إذا تم توزيع الكمية س القانون العادي N (μ ؛ σ 2 / ن) ، ثم التعبير عن فاصل الثقةانها صحيحة.

حساب فترة الثقة في MS EXCEL

لنحل المشكلة. يعد وقت استجابة أحد المكونات الإلكترونية لإشارة الإدخال سمة مهمة للجهاز. يريد المهندس رسم فاصل ثقة لمتوسط ​​وقت الاستجابة عند مستوى ثقة 95٪. يعرف المهندس من تجربته السابقة أن الانحراف المعياري لوقت الاستجابة هو 8 مللي ثانية. من المعروف أن المهندس أجرى 25 قياسًا لتقدير وقت الاستجابة ، وكان متوسط ​​القيمة 78 مللي ثانية.

حل: يريد المهندس معرفة وقت الاستجابة جهاز الكتروني، لكنه يفهم أن وقت الاستجابة ليس ثابتًا ، ولكنه متغير عشوائي له توزيعه الخاص. لذا فإن أفضل ما يمكنه الاعتماد عليه هو تحديد معلمات وشكل هذا التوزيع.

لسوء الحظ ، من بيان المشكلة ، لا نعرف شكل توزيع وقت الاستجابة (لا يجب أن يكون كذلك عادي). ، هذا التوزيع غير معروف أيضًا. معروف عنه فقط الانحراف المعياريσ = 8. لذلك ، بينما لا يمكننا حساب الاحتمالات والبناء فاصل الثقة .

ومع ذلك ، على الرغم من حقيقة أننا لا نعرف التوزيع زمناستجابة منفصلة، نعرف ذلك وفقًا لـ CPT , توزيع العينةمتوسط ​​وقت الاستجابةتقريبا عادي(سنفترض أن الشروط CPTيتم تنفيذها بسبب الحجم أخذ العيناتكبير بما يكفي (ن = 25)) .

وعلاوة على ذلك، المتوسطمن هذا التوزيع معدلتوزيع إجابة واحدة ، أي ميكرومتر. أ الانحراف المعياريمن هذا التوزيع (σ / √n) يمكن حسابه بالصيغة = 8 / ROOT (25).

ومن المعروف أيضًا أن المهندس تلقى تقدير النقطةالمعلمة μ تساوي 78 مللي ثانية (X cf.). لذلك ، يمكننا الآن حساب الاحتمالات منذ ذلك الحين نعرف شكل التوزيع ( عادي) ومعلماتها (X cf و σ / √n).

المهندس يريد أن يعرف القيمة المتوقعةμ لتوزيع وقت الاستجابة. كما ذكر أعلاه ، هذا μ يساوي التوقع الرياضي لتوزيع العينة لمتوسط ​​زمن الاستجابة... إذا استخدمنا التوزيع الطبيعي N (X cf ؛ σ / √n) ، ثم سيكون المطلوب μ في النطاق +/- 2 * σ / n مع احتمال حوالي 95٪.

مستوى الأهميةيساوي 1-0.95 = 0.05.

أخيرًا ، ابحث عن الحد الأيمن والأيسر فاصل الثقة... الحد الأيسر: = 78-STANDARD ST.OBR (1-0.05 / 2) * 8 / ROOT (25) = 74,864 الحد الأيمن: = 78 + NORM.ST.OBR (1-0.05 / 2) * 8 / ROOT (25) = 81.136

الحد الأيسر: = NORM.OBR (0.05 / 2 ؛ 78 ؛ 8 / ROOT (25))الحد الأيمن: = NORM.INV (1-0.05 / 2 ؛ 78 ؛ 8 / ROOT (25))

إجابة : فاصل الثقةفي مستوى الثقة 95٪ و σ =8 تصلب متعدديساوي 78 +/- 3.136 مللي ثانية.

الخامس مثال على ورقة عمل سيجماشكل الحساب والبناء معروف ثنائيفاصل الثقةعن التعسفي عيناتمع σ و مستوى الدلالة او الاهميه .

دالة CONFIDENCE.NORM ()

إذا كانت القيم أخذ العيناتفي النطاق B20: B79 ، أ مستوى الأهميةيساوي 0.05 ؛ ثم صيغة MS EXCEL: = AVERAGE (B20: B79) -NORM (0.05، σ، COUNT (B20: B79))سيعود الحد الأيسر فاصل الثقة .

يمكن حساب نفس الحد باستخدام الصيغة: = AVERAGE (B20: B79) -NORM.ST.INV (1-0.05 / 2) * σ / ROOT (COUNT (B20: B79))

ملحوظة: ظهرت الوظيفة CONFIDENCE.NORM () في MS EXCEL 2010. في الإصدارات السابقة من MS EXCEL ، تم استخدام وظيفة CONFIDENCE ().